Arithmetische und geometrische Folgen – einfache Zinsen und Zinseszins

Was sie zeigt

Eine arithmetische Folge addiert bei jedem Schritt dieselbe Differenz d. Daher ist uₙ = u₁ + (n − 1)d eine lineare Funktion von n, und die Punkte (n; uₙ) liegen auf einer Geraden. Eine geometrische Folge multipliziert stets mit demselben Quotienten q. Daher gilt uₙ = u₁·qⁿ⁻¹, und die Punkte folgen einer Exponentialkurve: Wachstum für q > 1, Abnahme gegen 0 für 0 < q < 1, wechselnde Vorzeichen für q < 0. Einfache Zinsen addieren pro Periode einen festen Betrag und bilden eine arithmetische Folge; Zinseszinsen multiplizieren pro Periode mit 1 + r und bilden eine geometrische Folge.

So funktioniert es

Klicken Sie auf Arithmetisch, stellen Sie Anfangsglied u₁ und Differenz d ein und prüfen Sie, dass die Punkte auch bei negativem d auf einer Geraden bleiben. Klicken Sie auf Geometrisch und bewegen Sie Quotient q über 1, zwischen 0 und 1 sowie unter 0. Klicken Sie auf einen Balken oder ziehen Sie den Regler k, um uₖ und Sₖ aus den Formeln abzulesen. Ändern Sie im Modus Zinsen/Zinseszins den Zinssatz pro Periode und die Anzahl der Glieder n und beobachten Sie, wie der Abstand der Balken wächst.

Einstellbare Parameter

• Art der Folge Arithmetische Folge, Geometrische Folge, Einfache Zinsen und Zinseszins
• Anfangsglied u₁ (Startkapital im Zinsmodus) -20–100
• Differenz d (arithmetische Folge) -10–10
• Quotient q (geometrische Folge) -2–3
• Anzahl der Glieder n (Anzahl der Perioden) 3–30
• Zinssatz pro Periode (Zinsmodus) 1–30 %
• Währung Nach der Sprache, US-Dollar, Euro, Indische Rupie, Indonesische Rupiah, Saudi-Riyal

Fragen zum Erkunden

1. Warum liegen die Punkte einer arithmetischen Folge immer auf einer Geraden?
2. Wie verhalten sich die Glieder und die Summen Sₙ für q = −1?
3. Nach wie vielen Perioden übersteigt der Zinseszins bei 8 % pro Periode die einfachen Zinsen um mehr als 10 % des Kapitals?