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Algebra und Kegelschnitte – LGS, Induktion und binomischer Lehrsatz, Kegelschnitte

MathematikAlgebraAlter 15–16

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Drei Vertiefungsthemen der Mathematik in einer Simulation, auswählbar über den Parameter Thema. Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten: Führen Sie das Gauß-Verfahren an der Koeffizientenmatrix Schritt für Schritt durch und sehen Sie, ob das System genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat. Induktion und binomischer Lehrsatz: Klicken Sie auf Felder des Pascalschen Dreiecks, um die Additionsregel und die Entwicklung von (a+b)^n zu sehen; ein Treppendiagramm beweist 1+2+…+n = n(n+1)/2. Kegelschnitte: Ziehen Sie den Punkt M entlang der Kurve, prüfen Sie MF = e·d(M, Δ) und beobachten Sie, wie sich Ellipse, Parabel und Hyperbel mit der Exzentrizität e verändern.

Lektion: Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten; vollständige Induktion und binomischer Lehrsatz; Kegelschnitte und ihre Anwendungen

Was sie zeigt

Drei Themen teilen sich eine Seite. Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten beschreibt drei Ebenen; das Gauß-Verfahren bringt es auf Dreiecksform, und die letzte Zeile zeigt, ob sich die Ebenen in einem Punkt schneiden, keinen gemeinsamen Punkt haben (Zeile 0 = 1) oder unendlich viele gemeinsame Punkte besitzen (Zeile 0 = 0). Das Pascalsche Dreieck folgt der Regel C(n; k) = C(n − 1; k − 1) + C(n − 1; k), liefert die Koeffizienten von (a + b)ⁿ und stützt den Beweis durch vollständige Induktion. Die Kegelschnitte werden gemeinsam als Punkte M mit MF = e·d(M, Δ) definiert: Ellipse für e < 1, Parabel für e = 1, Hyperbel für e > 1.

So funktioniert es

Wählen Sie das Aktuelle Thema. Beim Gleichungssystem wählen Sie ein Beispielsystem mit drei Gleichungen, klicken für jede Elimination auf Nächster Schritt und lesen die letzte Zeile; System wechseln vergleicht die drei Fälle. Beim Pascalschen Dreieck klicken Sie auf Zeile hinzu (n + 1) und dann auf eine Zelle, um ihre beiden Summanden zu sehen. Bei den Kegelschnitten ändern Sie Exzentrizität e des Kegelschnitts oder klicken auf e erhöhen und ziehen den Punkt M, um zu prüfen, dass MF/d(M, Δ) gleich e bleibt.

Einstellbare Parameter

  • Aktuelles Thema 1. LGS mit drei Unbekannten, 2. Vollständige Induktion und binomischer Lehrsatz, 3. Kegelschnitte und Anwendungen
  • Beispielsystem mit drei Gleichungen System mit genau einer Lösung, System ohne Lösung, System mit unendlich vielen Lösungen
  • Exponent n von (a + b)ⁿ und Anzahl der Summanden 1–10
  • Exzentrizität e des Kegelschnitts 0,2–2,4
  • Ausführliche Beschriftungen und Werte zeigen

Fragen zum Erkunden

  1. Welche Zeile der umgeformten Matrix zeigt, dass ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten keine Lösung hat?
  2. Wie groß ist die Summe der Zahlen in Zeile n des Pascalschen Dreiecks, und warum?
  3. Für welchen Wert von e ist der Kegelschnitt eine Parabel, und was passiert mit der Kurve, wenn e diesen Wert überschreitet?

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