Lineare Ungleichung – Lösungsmenge am Zahlenstrahl
MathematikAlgebraAlter 14–15
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Als Nächstes in Algebra
Lösen Sie die Ungleichung ax + b > c (oder <, ≥, ≤) Schritt für Schritt: Terme auf die andere Seite bringen, dann beide Seiten durch a teilen und bei a < 0 das Ungleichheitszeichen umdrehen. Die Lösungsmenge wird am Zahlenstrahl markiert; ziehen Sie den Testpunkt x, um durch Einsetzen zu prüfen, ziehen Sie die Markierung, um c zu ändern, und klicken Sie, um das Zeichen zu wechseln. Der Reiter Intervalle zeigt offene, abgeschlossene, halboffene und unbeschränkte Intervalle in drei Schreibweisen und verknüpft zwei davon durch Vereinigung, Schnitt, Differenz und Komplement.
Lektion: Lineare Ungleichungen mit einer Variablen
Was sie zeigt
Eine Ungleichung ax + b > c löst man wie eine Gleichung, nur kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, wenn man beide Seiten durch eine negative Zahl teilt. Die Lösungsmenge ist ein Strahl ab x₀ = (c − b)/a: Ein ausgefüllter Punkt bedeutet, dass x₀ dazugehört (≥ oder ≤), ein offener, dass es nicht dazugehört. Der Reiter Intervalle benennt solche Mengen: abgeschlossene, offene, halboffene und unbeschränkte Intervalle, geschrieben mit Klammern, als Ungleichung und in Mengenschreibweise. Verknüpft man zwei Intervalle durch Vereinigung, Schnitt, Differenz oder Komplement, sieht man, wie eine zusammengesetzte Ungleichung mit „und“ oder „oder“ ein Intervall, zwei Teile, eine einzelne Zahl oder die leere Menge ergibt.
So funktioniert es
Drücken Sie im Reiter Lösen auf Nächster Schritt, machen Sie dann Koeffizient a negativ und lassen Sie vorhersagen, wohin die Markierung umschlägt; ziehen Sie den roten Testpunkt, um Werte einzusetzen. Stellen Sie im Reiter Intervalle A und B mit den Klammer-Schaltflächen und den Grenzen ein, oder ziehen Sie die Grenzen am Zahlenstrahl und tippen Sie darauf, um sie ein- oder auszuschließen. Wechseln Sie bei Verknüpfung zwischen A ∪ B, A ∩ B, A ∖ B und ℝ ∖ A, lesen Sie die Tabelle und beantworten Sie die Übungsfragen.
Einstellbare Parameter
- Koeffizient a -10–10
- Koeffizient b -20–20
- Rechte Seite c -20–20
- Ungleichheitszeichen ax + b > c, ax + b < c, ax + b ≥ c, ax + b ≤ c
- Ansicht Ungleichung lösen, Intervalle und Verknüpfungen
- A: linke Grenze (−11 bedeutet −∞) -11–10
- A: rechte Grenze (11 bedeutet +∞) -10–11
- A: Klammern abgeschlossen [a; b], halboffen [a; b[, halboffen ]a; b], offen ]a; b[
- B: linke Grenze (−11 bedeutet −∞) -11–10
- B: rechte Grenze (11 bedeutet +∞) -10–11
- B: Klammern abgeschlossen [a; b], halboffen [a; b[, halboffen ]a; b], offen ]a; b[
- Verknüpfung Vereinigung A ∪ B, Schnitt A ∩ B, Differenz A ∖ B, Differenz B ∖ A, Komplement ℝ ∖ A
Fragen zum Erkunden
- Warum muss man das Ungleichheitszeichen umkehren, wenn man beide Seiten durch ein negatives a teilt?
- Wie kann die Ungleichung bei a = 0 für alle x oder für kein x gelten?
- Warum hat x ≥ 3 und x < 1 keine Lösung, während x ≥ 3 oder x < 1 zwei Intervalle ergibt?
