Racines carrées sur la droite graduée – construction et valeur approchée

Ce qu’elle montre

D'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'un carré de côté 1 mesure √2. En ajoutant à une hypoténuse de longueur √k un triangle rectangle dont un côté de l'angle droit mesure 1, on obtient une hypoténuse de longueur √(k + 1) : en répétant l'opération, on forme la spirale de Théodore et on construit √n pour tout entier naturel n. Un arc reporte ensuite chaque longueur sur la droite graduée. La droite agrandie situe √n décimale par décimale : un décimal x est à gauche de √n si x² < n, à droite si x² > n. Si n n'est pas un carré parfait, les décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas : √n est irrationnel.

Mode d’emploi

Réglez Nombre n dont on cherche √n sur 2, puis essayez un carré parfait comme 16. Avec Afficher la construction (spirale de triangles rectangles) activé, suivez l'arc qui reporte la longueur sur l'axe. Faites ensuite glisser le point test x sur la droite agrandie et demandez aux élèves de décider, à partir de x², si x est à gauche ou à droite de √n. Cliquez sur +1 décimale pour resserrer l'encadrement et comparez les lignes du tableau d'encadrement pas à pas.

Paramètres modifiables

• Nombre n dont on cherche √n 2–30
• Nombre de décimales de l'approximation 1–6
• Afficher la construction (spirale de triangles rectangles)
• Afficher le tableau d'encadrement pas à pas

Questions à explorer

1. Pourquoi la diagonale d'un carré de côté 1 mesure-t-elle exactement √2 ?
2. Comment se termine le tableau d'encadrement pour n = 16, et en quoi n = 15 est-il différent ?
3. 1,41 est-il la valeur exacte de √2 ? Comment les carrés de 1,41 et 1,42 le montrent-ils ?