Binomial Newton, segitiga Pascal, dan induksi matematika

Yang ditunjukkan

Teorema binomial menyatakan bahwa (a + b)ⁿ adalah jumlah suku-suku Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ untuk k = 0 sampai n, sehingga n + 1 koefisiennya membentuk baris ke-n segitiga Pascal. Setiap baris diperoleh dari baris sebelumnya dengan aturan Pascal, Cₙᵏ⁻¹ + Cₙᵏ = Cₙ₊₁ᵏ, yang tepat merupakan langkah induksi P(n) ⇒ P(n + 1) ketika penjabaran dikalikan dengan (a + b). Deretan domino yang jatuh memodelkan induksi matematika: langkah dasar yang benar dan langkah induksi yang sah membuat setiap kasus benar. Dengan a = b = 1, jumlah koefisien sama dengan 2ⁿ.

Cara menggunakan

Naikkan Pangkat n satu per satu dan amati setiap baris baru segitiga Pascal terbentuk dari dua sel di atas setiap entri. Klik sebuah sel, atau atur Suku ke-(k + 1) yang diamati, untuk menyorot satu suku penjabaran. Kemudian masukkan bilangan pada Nilai a dan Nilai b untuk melihat nilai setiap suku, jumlah (a + b)ⁿ, dan suku dengan nilai mutlak terbesar. Cobalah nilai yang berlawanan tanda untuk melihat tanda suku berselang-seling.

Parameter yang dapat diubah

• Pangkat n 1–12
• Suku ke-(k + 1) yang diamati 0–12
• Nilai a -5–5
• Nilai b -5–5

Pertanyaan untuk dijelajahi

1. Ada berapa suku dalam penjabaran (a + b)⁵, dan berapa saja koefisiennya?
2. Mengapa jumlah koefisien pada baris ke-n sama dengan 2ⁿ?
3. Pada deretan domino, apa yang bersesuaian dengan langkah dasar, dan apa yang salah pada bukti yang melewatkannya?