Formule du binôme, triangle de Pascal et raisonnement par récurrence

Ce qu’elle montre

La formule du binôme affirme que (a + b)ⁿ est la somme des termes Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ pour k de 0 à n : ses n + 1 coefficients forment la ligne n du triangle de Pascal. Chaque ligne se déduit de la précédente par la relation de Pascal, Cₙᵏ⁻¹ + Cₙᵏ = Cₙ₊₁ᵏ, qui est exactement l'hérédité P(n) ⇒ P(n + 1) lorsqu'on multiplie le développement par (a + b). Une file de dominos qui tombent illustre le raisonnement par récurrence : une initialisation vraie et une hérédité valide rendent chaque cas vrai. Avec a = b = 1, la somme des coefficients vaut 2ⁿ.

Mode d’emploi

Augmentez Exposant n pas à pas et observez chaque nouvelle ligne du triangle de Pascal se former à partir des deux cases situées au-dessus. Cliquez sur une case, ou réglez Terme k + 1 à examiner, pour mettre en évidence un terme du développement. Saisissez ensuite des nombres dans Valeur de a et Valeur de b pour voir la valeur de chaque terme, le total (a + b)ⁿ et le terme de plus grande valeur absolue. Essayez des valeurs de signes contraires pour voir les signes alterner.

Paramètres modifiables

• Exposant n 1–12
• Terme k + 1 à examiner 0–12
• Valeur de a -5–5
• Valeur de b -5–5

Questions à explorer

1. Combien de termes compte le développement de (a + b)⁵, et quels sont ses coefficients ?
2. Pourquoi la somme des coefficients de la ligne n vaut-elle 2ⁿ ?
3. Dans la file de dominos, à quoi correspond l'initialisation, et que devient une démonstration qui l'oublie ?