Binomischer Lehrsatz, Pascalsches Dreieck und vollständige Induktion

Was sie zeigt

Der binomische Lehrsatz besagt, dass (a + b)ⁿ die Summe der Glieder Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ für k = 0 bis n ist; die n + 1 Koeffizienten bilden also Zeile n des Pascalschen Dreiecks. Jede Zeile entsteht aus der vorigen durch die Pascalsche Regel Cₙᵏ⁻¹ + Cₙᵏ = Cₙ₊₁ᵏ, und das ist genau der Induktionsschritt P(n) ⇒ P(n + 1), wenn man die Entwicklung mit (a + b) multipliziert. Fallende Dominosteine veranschaulichen die vollständige Induktion: Ein wahrer Induktionsanfang und ein gültiger Induktionsschritt machen jeden Fall wahr. Mit a = b = 1 ist die Koeffizientensumme 2ⁿ.

So funktioniert es

Erhöhen Sie Exponent n schrittweise und beobachten Sie, wie jede neue Zeile des Pascalschen Dreiecks aus den beiden Feldern darüber entsteht. Klicken Sie ein Feld an oder stellen Sie Betrachtetes Glied k + 1 ein, um ein Glied der Entwicklung hervorzuheben. Geben Sie dann Zahlen bei Wert von a und Wert von b ein, um den Wert jedes Glieds, die Summe (a + b)ⁿ und das betragsgrößte Glied zu sehen. Werte mit entgegengesetztem Vorzeichen zeigen wechselnde Vorzeichen der Glieder.

Einstellbare Parameter

• Exponent n 1–12
• Betrachtetes Glied k + 1 0–12
• Wert von a -5–5
• Wert von b -5–5

Fragen zum Erkunden

1. Wie viele Glieder hat die Entwicklung von (a + b)⁵, und wie lauten ihre Koeffizienten?
2. Warum ist die Summe der Koeffizienten in Zeile n gleich 2ⁿ?
3. Was entspricht in der Dominokette dem Induktionsanfang, und was geht bei einem Beweis ohne ihn schief?