نظرية ذات الحدين – مثلث باسكال والبرهان بالاستقراء الرياضي

ماذا تعرض

تنص نظرية ذات الحدين على أن (a + b)ⁿ يساوي مجموع الحدود Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ من k = 0 إلى n، لذا تكوّن معاملاته، وعددها n + 1، الصف n من مثلث باسكال. ويتولد كل صف من الصف السابق بقاعدة باسكال Cₙᵏ⁻¹ + Cₙᵏ = Cₙ₊₁ᵏ، وهي بالضبط الخطوة الاستقرائية P(n) ⇒ P(n + 1) عند ضرب المفكوك في (a + b). وتمثّل قطع الدومينو المتساقطة البرهان بالاستقراء: إذا صحّت الحالة الأساسية وصحّت الخطوة الاستقرائية صحّت جميع الحالات. وبوضع a = b = 1 نحصل على مجموع المعاملات 2ⁿ.

طريقة الاستخدام

زِد «الأس n» خطوة واحدة في كل مرة، ولاحظ كيف يتكوّن كل عنصر في الصف الجديد من مثلث باسكال من الخليتين فوقه. انقر خلية، أو اضبط «الحد k + 1 المراد فحصه»، لتمييز حد واحد من المفكوك. ثم أدخل أعدادًا في «قيمة a» و«قيمة b» لترى قيمة كل حد، والمجموع (a + b)ⁿ، والحد ذا القيمة المطلقة الأكبر. جرّب قيمتين مختلفتين في الإشارة لترى إشارات الحدود تتناوب.

المعاملات القابلة للتغيير

• الأس n 1–12
• الحد k + 1 المراد فحصه 0–12
• قيمة a -5–5
• قيمة b -5–5

أسئلة للاستكشاف

1. كم حدًا في مفكوك (a + b)⁵، وما معاملاته؟
2. لماذا يساوي مجموع معاملات الصف n العدد 2ⁿ؟
3. في سلسلة الدومينو، ما الذي يقابل الحالة الأساسية، وما الخلل في برهان يتجاوزها؟