Binômio de Newton, triângulo de Pascal e indução finita
MatemáticaÁlgebraIdades 15–16
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O desenvolvimento de (a + b)ⁿ tem coeficientes iguais à linha n do triângulo de Pascal. Aumente n passo a passo para ver como cada nova linha é gerada a partir da anterior pela relação Cₙᵏ⁻¹ + Cₙᵏ = Cₙ₊₁ᵏ – exatamente o passo de indução P(n) ⇒ P(n + 1) – junto com uma fileira de dominós caindo que ilustra o princípio da indução, o termo geral, a soma dos coeficientes 2ⁿ e o maior termo quando a e b recebem valores numéricos.
Aula: Princípio da indução finita, binômio de Newton
O que mostra
O binômio de Newton diz que (a + b)ⁿ é a soma dos termos Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ para k de 0 a n, então seus n + 1 coeficientes formam a linha n do triângulo de Pascal. Cada linha vem da anterior pela relação de Stifel, Cₙᵏ⁻¹ + Cₙᵏ = Cₙ₊₁ᵏ, que é exatamente o passo de indução P(n) ⇒ P(n + 1) ao multiplicar o desenvolvimento por (a + b). Peças de dominó caindo modelam a indução finita: uma base verdadeira mais um passo válido tornam todo caso verdadeiro. Com a = b = 1, a soma dos coeficientes é 2ⁿ.
Como usar
Aumente Expoente n um passo de cada vez e veja cada nova linha do triângulo de Pascal se formar a partir das duas células acima de cada entrada. Clique em uma célula, ou ajuste Termo k + 1 a examinar, para destacar um termo do desenvolvimento. Depois digite números em Valor de a e Valor de b para ver o valor de cada termo, o total (a + b)ⁿ e o termo de maior valor absoluto. Teste valores de sinais opostos para ver os termos alternarem.
Parâmetros que você pode mudar
- Expoente n 1–12
- Termo k + 1 a examinar 0–12
- Valor de a -5–5
- Valor de b -5–5
Perguntas para explorar
- Quantos termos tem o desenvolvimento de (a + b)⁵, e quais são os seus coeficientes?
- Por que a soma dos coeficientes da linha n é igual a 2ⁿ?
- Na fileira de dominós, o que corresponde à base da indução, e o que falha numa prova que a omite?
