Binomio de Newton, triángulo de Pascal e inducción matemática

Qué muestra

El binomio de Newton afirma que (a + b)ⁿ es la suma de los términos Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ para k = 0 hasta n, así que sus n + 1 coeficientes forman la fila n del triángulo de Pascal. Cada fila se obtiene de la anterior con la regla de Pascal, Cₙᵏ⁻¹ + Cₙᵏ = Cₙ₊₁ᵏ, que es justo el paso inductivo P(n) ⇒ P(n + 1) al multiplicar el desarrollo por (a + b). Las fichas de dominó que caen modelan la inducción: un caso base cierto y un paso inductivo válido hacen cierto cada caso. Con a = b = 1 la suma de coeficientes es 2ⁿ.

Cómo usarla

Aumenta Exponente n paso a paso y observa cómo cada fila nueva del triángulo de Pascal se forma a partir de las dos casillas de arriba. Pulsa una casilla, o ajusta Término k + 1 a examinar, para destacar un término del desarrollo. Después escribe números en Valor de a y Valor de b para ver el valor de cada término, el total (a + b)ⁿ y el término de mayor valor absoluto. Prueba valores de signo opuesto para ver términos alternados.

Parámetros que puedes cambiar

• Exponente n 1–12
• Término k + 1 a examinar 0–12
• Valor de a -5–5
• Valor de b -5–5

Preguntas para explorar

1. ¿Cuántos términos tiene el desarrollo de (a + b)⁵, y cuáles son sus coeficientes?
2. ¿Por qué la suma de los coeficientes de la fila n es igual a 2ⁿ?
3. En la cadena de dominó, ¿qué corresponde al caso base, y qué falla en una demostración que lo omite?