Integral sebagai limit jumlah luas persegi panjang

Yang ditunjukkan

Luas antara kurva y = f(x) dan sumbu x pada [a, b] didekati dengan n persegi panjang (kiri, kanan, titik tengah) atau trapesium; ketika n membesar, jumlah Riemann mendekati integral tentu F(b) − F(a). Layar lain menunjukkan luas bertanda (bagian di bawah sumbu dihitung negatif, integral bersih dibandingkan luas total), sifat ∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ, batas yang ditukar dan kelinearan, nilai rata-rata f beserta titik c tempat f(c) mencapainya, integral tak wajar 1/xᵖ dari 1 sampai ∞ yang hanya konvergen untuk p > 1, serta tangki yang volumenya adalah integral laju bersih.

Cara menggunakan

Gunakan Layar untuk memilih tampilan. Pada Jumlah Riemann, seret a dan b, ubah Banyak persegi panjang n, dan bandingkan Kiri, Kanan, Tengah, dan Trapesium; Jalankan menaikkan n. Pada layar lain, seret batas pada grafik dan pilih Fungsi; pada Sifat-sifat integral, beralihlah antara Sifat penjumlahan, Batas ditukar, dan Kelinearan. Pada Integral tak wajar, atur p lalu tekan Biarkan b → ∞. Pada tangki, atur Aliran masuk dan Aliran keluar lalu tekan Jalankan.

Parameter yang dapat diubah

• Fungsi f(x) = x², f(x) = sin x + 1, f(x) = x³ − 3x + 3, v(t) = 2t + 1 (kecepatan, m/s)
• Batas bawah a -3–5
• Batas atas b -3–5
• Banyak persegi panjang n 1–200
• Titik pengambilan tinggi Ujung kiri, Ujung kanan, Titik tengah, Trapesium
• Layar Jumlah Riemann, Luas bertanda, Sifat-sifat integral, Nilai rata-rata, Integral tak wajar, Laju masuk – keluar (tangki)

Pertanyaan untuk dijelajahi

1. Untuk f(x) = x² pada [0, 2], mengapa jumlah ujung kiri selalu lebih kecil daripada integralnya?
2. Mengapa integral 1/x² dari 1 sampai ∞ konvergen, sedangkan integral 1/x divergen?
3. Jika f(x) negatif pada seluruh selang [a, b], apa tanda jumlah Sₙ?