Mencari akar secara numerik – perubahan tanda, bagi dua, iterasi dan Newton–Raphson
MatematikaKalkulusUsia 16–17
Memuat…
Masuk untuk memainkanPilih fungsi f lalu lihat tabel nilai dan tanda pada suatu selang, perbesar langkah demi langkah untuk mengurung akar, dan temui kasus ketika metode perubahan tanda gagal (asimtot tegak, akar kembar, dua akar dalam satu langkah). Jalankan langkah demi langkah metode bagi dua, iterasi titik tetap xₙ₊₁ = g(xₙ) dengan diagram tangga atau jaring laba-laba dan syarat |g′(α)| < 1, serta metode Newton–Raphson dengan garis singgungnya, metode Heron untuk √a dan kasus-kasus gagalnya; tabel iterasi menunjukkan seberapa cepat tiap metode konvergen.
Pelajaran: Penyelesaian persamaan secara numerik: perubahan tanda, metode bagi dua, iterasi titik tetap dan metode Newton–Raphson
Yang ditunjukkan
Jika f kontinu pada [a, b] dan f(a), f(b) berlawanan tanda, teorema nilai antara menjamin ada akar di antara a dan b. Pencarian desimal dan metode bagi dua menyempitkan selang itu; metode bagi dua selalu berhasil, tetapi hanya menambah sekitar 0,3 digit benar per langkah. Menulis f(x) = 0 sebagai x = g(x) menghasilkan iterasi xₙ₊₁ = g(xₙ), yang konvergen di dekat akar α bila |g′(α)| < 1. Newton–Raphson memakai garis singgung: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), dan di dekat akar sederhana banyaknya digit benar hampir berlipat dua setiap langkah.
Cara menggunakan
Di Perubahan tanda, pilih f(x), atur a, b dan Langkah h, lalu tekan Perbesar perubahan tanda atau ketuk pita hijau. Di Bagi dua, geser a dan b lalu tekan Langkah berikut, Jalankan atau Sampai akhir. Di Iterasi, pilih bentuk x = g(x) dan atur x₀. Di Newton–Raphson, geser pada grafik untuk memindahkan x₀ dan amati garis singgung serta tabelnya.
Parameter yang dapat diubah
- Layar Perubahan tanda, Bagi dua, Iterasi, Newton–Raphson
- Fungsi f(x) x³ − x − 1, x³ − 3x + 1 (tiga akar), x³ − 2x + 2, x² − a (metode Heron untuk √a), cos x − x, eˣ − 3x (dua akar), x² − 4,6x + 5,28 (dua akar berdekatan), (x − 1)² (akar kembar), 1/(x − 1) (asimtot tegak), ∛x
- Bilangan a pada f(x) = x² − a 1–50
- Ujung kiri a selang -10–10
- Ujung kanan b selang -10–10
- Langkah h tabel nilai (layar Perubahan tanda) 0,0001–1
- Bentuk x = g(x) (layar Iterasi) x = ∛(x + 1), x = √(1 + 1/x), x = 1/x + 1/x², x = x³ − 1, x = cos x, x = (x² + 1)/3
- Nilai awal x₀ (layar Iterasi) -5–5
- Nilai awal x₀ (layar Newton–Raphson) -10–10
Pertanyaan untuk dijelajahi
- Mengapa 1/(x − 1) berubah tanda antara 0,7 dan 1,2 padahal persamaan 1/(x − 1) = 0 tidak punya akar?
- Bentuk x = g(x) mana dari x³ − x − 1 = 0 yang konvergen, dan bagaimana nilai g′(α) menjelaskannya?
- Mengapa Newton–Raphson untuk (x − 1)² konvergen jauh lebih lambat daripada untuk x³ − x − 1?
