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Recherche numérique de racines – changement de signe, dichotomie, itération et Newton–Raphson

MathématiquesAnalyse16–17 ans

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Choisissez une fonction f et observez un tableau de valeurs et de signes sur un intervalle, zoomez pas à pas pour encadrer une racine, et découvrez les cas où la méthode du changement de signe échoue (asymptote verticale, racine double, deux racines dans un même pas). Avancez pas à pas dans la dichotomie, l'itération de point fixe xₙ₊₁ = g(xₙ) avec diagrammes en escalier ou en toile d'araignée et la condition |g′(α)| < 1, et la méthode de Newton–Raphson avec ses tangentes, la méthode de Héron pour √a et ses cas d'échec ; le tableau des itérations montre la vitesse de convergence de chaque méthode.

Leçon : Résolution numérique d'équations : changement de signe, dichotomie, itération de point fixe et méthode de Newton–Raphson

Ce qu’elle montre

Si f est continue sur [a ; b] et que f(a) et f(b) sont de signes contraires, le théorème des valeurs intermédiaires garantit une racine entre a et b. Le balayage décimal et la dichotomie réduisent cet intervalle ; la dichotomie marche toujours mais n'ajoute qu'environ 0,3 chiffre exact par étape. Écrire f(x) = 0 sous la forme x = g(x) donne la suite xₙ₊₁ = g(xₙ), qui converge près d'une racine α lorsque |g′(α)| < 1. Newton–Raphson utilise la tangente : xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), et près d'une racine simple le nombre de chiffres exacts double presque à chaque étape.

Mode d’emploi

Dans Changement de signe, choisissez f(x), réglez a, b et le Pas h, puis cliquez sur Zoomer sur le changement de signe ou touchez une bande verte. Dans Dichotomie, faites glisser a et b et cliquez sur Étape suivante, Lancer ou Jusqu'au bout. Dans Itération, choisissez une forme x = g(x) et réglez x₀. Dans Newton–Raphson, faites glisser sur le graphique pour déplacer x₀ et suivez les tangentes et le tableau.

Paramètres modifiables

  • Écran Changement de signe, Dichotomie, Itération, Newton–Raphson
  • Fonction f(x) x³ − x − 1, x³ − 3x + 1 (trois racines), x³ − 2x + 2, x² − a (méthode de Héron pour √a), cos x − x, eˣ − 3x (deux racines), x² − 4,6x + 5,28 (deux racines proches), (x − 1)² (racine double), 1/(x − 1) (asymptote verticale), ∛x
  • Nombre a dans f(x) = x² − a 1–50
  • Borne gauche a de l'intervalle -10–10
  • Borne droite b de l'intervalle -10–10
  • Pas h du tableau de valeurs (écran Changement de signe) 0,0001–1
  • Forme x = g(x) (écran Itération) x = ∛(x + 1), x = √(1 + 1/x), x = 1/x + 1/x², x = x³ − 1, x = cos x, x = (x² + 1)/3
  • Valeur initiale x₀ (écran Itération) -5–5
  • Valeur initiale x₀ (écran Newton–Raphson) -10–10

Questions à explorer

  1. Pourquoi 1/(x − 1) change-t-il de signe entre 0,7 et 1,2 alors que l'équation 1/(x − 1) = 0 n'a pas de solution ?
  2. Quelles formes x = g(x) de x³ − x − 1 = 0 convergent, et comment la valeur de g′(α) l'explique-t-elle ?
  3. Pourquoi Newton–Raphson converge-t-il beaucoup plus lentement pour (x − 1)² que pour x³ − x − 1 ?

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