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Nullstellen numerisch bestimmen – Vorzeichenwechsel, Bisektion, Iteration und Newton-Verfahren

MathematikAnalysisAlter 16–17

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Wählen Sie eine Funktion f und sehen Sie eine Wertetabelle mit Vorzeichen auf einem Intervall, zoomen Sie schrittweise hinein, um eine Nullstelle einzuschachteln, und lernen Sie die Fälle kennen, in denen das Vorzeichenwechsel-Verfahren versagt (senkrechte Asymptote, doppelte Nullstelle, zwei Nullstellen in einem Schritt). Gehen Sie Schritt für Schritt durch die Bisektion, die Fixpunktiteration xₙ₊₁ = g(xₙ) mit Treppen- oder Spinnwebdiagramm und der Bedingung |g′(α)| < 1 sowie das Newton-Verfahren mit seinen Tangenten, dem Heron-Verfahren für √a und seinen Problemfällen; die Iterationstabelle zeigt, wie schnell jedes Verfahren konvergiert.

Lektion: Gleichungen numerisch lösen: Vorzeichenwechsel, Bisektion, Fixpunktiteration und Newton-Verfahren

Was sie zeigt

Ist f auf [a; b] stetig und haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen a und b. Dezimalsuche und Bisektion verkleinern dieses Intervall; die Bisektion funktioniert immer, liefert aber nur etwa 0,3 richtige Stellen pro Schritt. Schreibt man f(x) = 0 als x = g(x), erhält man die Iteration xₙ₊₁ = g(xₙ), die nahe einer Nullstelle α konvergiert, wenn |g′(α)| < 1 ist. Das Newton-Verfahren nutzt die Tangente: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ); nahe einer einfachen Nullstelle verdoppelt sich die Zahl der richtigen Stellen etwa mit jedem Schritt.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Vorzeichenwechsel f(x), stellen Sie a, b und die Schrittweite h ein und klicken Sie auf In den Vorzeichenwechsel zoomen oder tippen Sie auf einen grünen Streifen. Ziehen Sie unter Bisektion a und b und klicken Sie auf Nächster Schritt, Starten oder Bis zum Ende. Wählen Sie unter Iteration eine Umformung x = g(x) und setzen Sie x₀. Ziehen Sie unter Newton-Verfahren auf dem Graphen, um x₀ zu verschieben, und verfolgen Sie Tangenten und Tabelle.

Einstellbare Parameter

  • Bildschirm Vorzeichenwechsel, Bisektion, Iteration, Newton-Verfahren
  • Funktion f(x) x³ − x − 1, x³ − 3x + 1 (drei Nullstellen), x³ − 2x + 2, x² − a (Heron-Verfahren für √a), cos x − x, eˣ − 3x (zwei Nullstellen), x² − 4,6x + 5,28 (zwei nahe Nullstellen), (x − 1)² (doppelte Nullstelle), 1/(x − 1) (senkrechte Asymptote), ∛x
  • Zahl a in f(x) = x² − a 1–50
  • Linke Intervallgrenze a -10–10
  • Rechte Intervallgrenze b -10–10
  • Schrittweite h der Wertetabelle (Bildschirm Vorzeichenwechsel) 0,0001–1
  • Umformung x = g(x) (Bildschirm Iteration) x = ∛(x + 1), x = √(1 + 1/x), x = 1/x + 1/x², x = x³ − 1, x = cos x, x = (x² + 1)/3
  • Startwert x₀ (Bildschirm Iteration) -5–5
  • Startwert x₀ (Bildschirm Newton-Verfahren) -10–10

Fragen zum Erkunden

  1. Warum wechselt 1/(x − 1) zwischen 0,7 und 1,2 das Vorzeichen, obwohl die Gleichung 1/(x − 1) = 0 keine Lösung hat?
  2. Welche Umformungen x = g(x) von x³ − x − 1 = 0 konvergieren, und wie erklärt der Wert von g′(α) das?
  3. Warum konvergiert das Newton-Verfahren für (x − 1)² viel langsamer als für x³ − x − 1?

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