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Búsqueda numérica de raíces – cambio de signo, bisección, iteración y Newton–Raphson

MatemáticasCálculoEdades 16–17

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Elige una función f y mira una tabla de valores y signos en un intervalo, amplía paso a paso para encerrar una raíz y descubre los casos en que falla el método del cambio de signo (una asíntota vertical, una raíz doble, dos raíces en un mismo paso). Avanza paso a paso por la bisección, la iteración de punto fijo xₙ₊₁ = g(xₙ) con diagramas en escalera o en telaraña y la condición |g′(α)| < 1, y el método de Newton–Raphson con sus tangentes, el método de Herón para √a y sus casos de fallo; la tabla de iteraciones muestra lo rápido que converge cada método.

Lección: Resolución numérica de ecuaciones: cambio de signo, bisección, iteración de punto fijo y método de Newton–Raphson

Qué muestra

Si f es continua en [a, b] y f(a), f(b) tienen signos opuestos, el teorema del valor intermedio (Bolzano) garantiza una raíz entre a y b. La búsqueda decimal y la bisección reducen ese intervalo; la bisección siempre funciona, pero solo añade unas 0,3 cifras correctas por paso. Escribir f(x) = 0 como x = g(x) da la iteración xₙ₊₁ = g(xₙ), que converge cerca de una raíz α cuando |g′(α)| < 1. Newton–Raphson usa la tangente: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), y cerca de una raíz simple el número de cifras correctas casi se duplica en cada paso.

Cómo usarla

En Cambio de signo, elige f(x), fija a, b y el Paso h, y pulsa Ampliar el cambio de signo o toca una franja verde. En Bisección, arrastra a y b y pulsa Paso siguiente, Ejecutar o Hasta el final. En Iteración, elige una forma x = g(x) y fija x₀. En Newton–Raphson, arrastra sobre la gráfica para mover x₀ y observa las tangentes y la tabla.

Parámetros que puedes cambiar

  • Pantalla Cambio de signo, Bisección, Iteración, Newton–Raphson
  • Función f(x) x³ − x − 1, x³ − 3x + 1 (tres raíces), x³ − 2x + 2, x² − a (método de Herón para √a), cos x − x, eˣ − 3x (dos raíces), x² − 4,6x + 5,28 (dos raíces cercanas), (x − 1)² (raíz doble), 1/(x − 1) (asíntota vertical), ∛x
  • Número a en f(x) = x² − a 1–50
  • Extremo izquierdo a del intervalo -10–10
  • Extremo derecho b del intervalo -10–10
  • Paso h de la tabla de valores (pantalla Cambio de signo) 0,0001–1
  • Forma x = g(x) (pantalla Iteración) x = ∛(x + 1), x = √(1 + 1/x), x = 1/x + 1/x², x = x³ − 1, x = cos x, x = (x² + 1)/3
  • Valor inicial x₀ (pantalla Iteración) -5–5
  • Valor inicial x₀ (pantalla Newton–Raphson) -10–10

Preguntas para explorar

  1. ¿Por qué 1/(x − 1) cambia de signo entre 0,7 y 1,2 si la ecuación 1/(x − 1) = 0 no tiene raíz?
  2. ¿Qué formas de escribir x³ − x − 1 = 0 convergen y cómo lo explica el valor de g′(α)?
  3. ¿Por qué Newton–Raphson converge mucho más despacio para (x − 1)² que para x³ − x − 1?

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