Busca numérica de raízes – mudança de sinal, bissecção, iteração e Newton–Raphson
MatemáticaCálculoIdades 16–17
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Entre para usarEscolha uma função f e veja uma tabela de valores e sinais em um intervalo, amplie passo a passo para cercar uma raiz e conheça os casos em que o método da mudança de sinal falha (uma assíntota vertical, uma raiz dupla, duas raízes no mesmo passo). Avance passo a passo pela bissecção, pela iteração de ponto fixo xₙ₊₁ = g(xₙ) com diagramas em escada ou em teia e a condição |g′(α)| < 1, e pelo método de Newton–Raphson com suas tangentes, o método de Herão para √a e seus casos de falha; a tabela de iterações mostra a rapidez da convergência de cada método.
Aula: Resolução numérica de equações: mudança de sinal, bissecção, iteração de ponto fixo e método de Newton–Raphson
O que mostra
Se f é contínua em [a, b] e f(a), f(b) têm sinais opostos, o teorema do valor intermediário garante uma raiz entre a e b. A busca decimal e a bissecção reduzem esse intervalo; a bissecção sempre funciona, mas acrescenta só cerca de 0,3 algarismo correto por passo. Escrever f(x) = 0 como x = g(x) dá a iteração xₙ₊₁ = g(xₙ), que converge perto de uma raiz α quando |g′(α)| < 1. Newton–Raphson usa a tangente: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), e perto de uma raiz simples o número de algarismos corretos quase dobra a cada passo.
Como usar
Em Mudança de sinal, escolha f(x), defina a, b e o Passo h e clique em Ampliar a mudança de sinal ou toque em uma faixa verde. Em Bissecção, arraste a e b e clique em Próximo passo, Executar ou Até o fim. Em Iteração, escolha uma forma x = g(x) e defina x₀. Em Newton–Raphson, arraste sobre o gráfico para mover x₀ e observe as tangentes e a tabela.
Parâmetros que você pode mudar
- Tela Mudança de sinal, Bissecção, Iteração, Newton–Raphson
- Função f(x) x³ − x − 1, x³ − 3x + 1 (três raízes), x³ − 2x + 2, x² − a (método de Herão para √a), cos x − x, eˣ − 3x (duas raízes), x² − 4,6x + 5,28 (duas raízes próximas), (x − 1)² (raiz dupla), 1/(x − 1) (assíntota vertical), ∛x
- Número a em f(x) = x² − a 1–50
- Extremo esquerdo a do intervalo -10–10
- Extremo direito b do intervalo -10–10
- Passo h da tabela de valores (tela Mudança de sinal) 0,0001–1
- Forma x = g(x) (tela Iteração) x = ∛(x + 1), x = √(1 + 1/x), x = 1/x + 1/x², x = x³ − 1, x = cos x, x = (x² + 1)/3
- Valor inicial x₀ (tela Iteração) -5–5
- Valor inicial x₀ (tela Newton–Raphson) -10–10
Perguntas para explorar
- Por que 1/(x − 1) muda de sinal entre 0,7 e 1,2 se a equação 1/(x − 1) = 0 não tem raiz?
- Quais formas de escrever x³ − x − 1 = 0 convergem, e como o valor de g′(α) explica isso?
- Por que Newton–Raphson converge muito mais devagar para (x − 1)² do que para x³ − x − 1?
