Simulic
Bahasa Indonesia

Persamaan diferensial – medan arah, solusi khusus, dan metode Euler

MatematikaKalkulusUsia 17–18

Memuat…

Gunakan di kelas saya ✨ Sesuaikan dengan AI Laporkan masalah

Pilih dy/dx = f(x, y) (pertumbuhan atau peluruhan eksponensial, y′ = ay + b, pertumbuhan logistik, hukum pendinginan Newton, x + y, xy, −x/y, x) dan lihat medan arahnya; klik untuk menggambar solusi khusus yang melalui titik itu, lengkap dengan pengerjaan pemisahan variabel. Layar Metode Euler melangkah dengan ukuran langkah h dan membandingkan setiap nilai dengan solusi eksak dalam tabel galat, juga untuk h/2. Layar Sistem terkopel menerapkan metode Euler pada dx/dt, dy/dt (predator–mangsa, pusat, spiral, pelana).

Pelajaran: Persamaan diferensial orde satu: medan arah, pemisahan variabel, dan metode Euler

Yang ditunjukkan

Persamaan diferensial orde satu dy/dx = f(x, y) memberi gradien di setiap titik; medan arah menggambarnya sebagai ruas pendek, dan setiap kurva solusi menyinggung ruas-ruas itu. Solusi eksak berasal dari rumus yang diperoleh dengan memisahkan variabel (faktor integrasi untuk dy/dx = x + y), sehingga solusi khusus melalui titik awal mana pun digambar secara tepat. Metode Euler mengikuti garis singgung sejauh langkah h: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ); galatnya kira-kira sebanding dengan h. Untuk sistem terkopel, lintasan acuan dihitung dengan RK4. Model pendinginan menganggap suhu lingkungan tetap.

Cara menggunakan

Di Medan arah, pilih Persamaan lalu klik atau ketuk grafik untuk menggambar solusi yang melalui titik itu; centang Isoklin dy/dx = 0 untuk melihat tempat gradien bernilai nol. Di Metode Euler, atur h dan n, lalu tekan Langkah ▶ untuk maju satu langkah atau ▶ Jalankan untuk animasi; bandingkan tabel dengan solusi eksak. Di Sistem terkopel, pilih Sistem lalu klik titik awal. Atur ulang mengembalikan nilai awal.

Parameter yang dapat diubah

  • Layar Medan arah, Metode Euler, Sistem terkopel
  • Persamaan diferensial dy/dx = ky (pertumbuhan atau peluruhan eksponensial), dy/dx = ay + b, dy/dx = ky(1 − y/L) (pertumbuhan logistik), dT/dt = −k(T − Tₐ) (hukum pendinginan Newton), dy/dx = x + y, dy/dx = xy, dy/dx = −x/y, dy/dx = x
  • Koefisien k (a pada y′ = ay + b) dari persamaan yang dipilih -2–2
  • Konstanta kedua: b, daya dukung L, atau suhu lingkungan Tₐ (°C) -5–40
  • Syarat awal: x₀ (t₀ untuk pendinginan) -5–40
  • Syarat awal: y₀ = y(x₀) (T₀ untuk pendinginan) -5–100
  • Ukuran langkah h (layar Metode Euler) 0,05–10
  • Banyak langkah n (layar Metode Euler) 1–40
  • Tampilkan solusi eksak (layar Euler dan sistem)
  • Tampilkan isoklin dy/dx = 0 (layar Medan arah)
  • Sistem (layar Sistem terkopel) Predator–mangsa (Lotka–Volterra), x′ = y, y′ = −x (pusat), x′ = y, y′ = −x − 0,5y (spiral), x′ = x + y, y′ = 4x + y (pelana)
  • Ukuran langkah h sistem 0,01–0,5
  • Banyak langkah sistem 1–200

Pertanyaan untuk dijelajahi

  1. Untuk dy/dx = x + y dengan y(0) = 1, mengapa metode Euler selalu memberi nilai di bawah solusi eksak?
  2. Bagaimana galat metode Euler pada x tertentu berubah jika ukuran langkah h dibagi dua?
  3. Pada sistem x′ = y, y′ = −x, mengapa lintasan Euler berpilin keluar dan tidak menutup?

Simulasi terkait