Ecuaciones diferenciales – campos de pendientes, soluciones particulares y método de Euler

Qué muestra

Una ecuación diferencial de primer orden dy/dx = f(x, y) asigna una pendiente a cada punto; el campo de pendientes la dibuja como segmentos cortos, y cada curva solución es tangente a ellos. Las soluciones exactas salen de fórmulas obtenidas separando variables (un factor integrante para dy/dx = x + y), así que la solución particular que pasa por cualquier punto inicial se dibuja exactamente. El método de Euler sigue la tangente un paso h: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ); su error es aproximadamente proporcional a h. En los sistemas acoplados, la trayectoria de referencia se calcula con RK4. El modelo de enfriamiento supone una temperatura ambiente constante.

Cómo usarla

En Campo de pendientes, elige una Ecuación y haz clic o toca la gráfica para dibujar la solución que pasa por ese punto; marca Isoclina dy/dx = 0 para ver dónde la pendiente es cero. En Método de Euler, ajusta h y n, y pulsa Paso ▶ para avanzar paso a paso o ▶ Ejecutar para animarlo; compara la tabla con la solución exacta. En Sistema acoplado, elige un Sistema y haz clic en un punto de partida. Restablecer recupera los valores iniciales.

Parámetros que puedes cambiar

• Pantalla Campo de pendientes, Método de Euler, Sistema acoplado
• Ecuación diferencial dy/dx = ky (crecimiento o decaimiento exponencial), dy/dx = ay + b, dy/dx = ky(1 − y/L) (crecimiento logístico), dT/dt = −k(T − Tₐ) (ley de enfriamiento de Newton), dy/dx = x + y, dy/dx = xy, dy/dx = −x/y, dy/dx = x
• Coeficiente k (a en y′ = ay + b) de la ecuación elegida -2–2
• Segunda constante: b, capacidad de carga L o temperatura ambiente Tₐ (°C) -5–40
• Condición inicial: x₀ (t₀ en el enfriamiento) -5–40
• Condición inicial: y₀ = y(x₀) (T₀ en el enfriamiento) -5–100
• Paso h (pantalla Método de Euler) 0,05–10
• Número de pasos n (pantalla Método de Euler) 1–40
• Mostrar la solución exacta (pantallas de Euler y del sistema)
• Mostrar la isoclina dy/dx = 0 (pantalla Campo de pendientes)
• Sistema (pantalla Sistema acoplado) Depredador–presa (Lotka–Volterra), x′ = y, y′ = −x (centro), x′ = y, y′ = −x − 0,5y (espiral), x′ = x + y, y′ = 4x + y (punto de silla)
• Paso h del sistema 0,01–0,5
• Número de pasos del sistema 1–200

Preguntas para explorar

1. ¿Por qué, para dy/dx = x + y con y(0) = 1, el método de Euler siempre subestima la solución exacta?
2. ¿Cómo cambia el error del método de Euler en un x fijo cuando el paso h se reduce a la mitad?
3. En el sistema x′ = y, y′ = −x, ¿por qué la trayectoria de Euler se abre en espiral en lugar de cerrarse?