Equações diferenciais – campos de direções, soluções particulares e método de Euler

O que mostra

Uma equação diferencial de primeira ordem dy/dx = f(x, y) dá uma inclinação em cada ponto; o campo de direções a desenha como segmentos curtos, e toda curva solução é tangente a eles. As soluções exatas vêm de fórmulas obtidas separando as variáveis (um fator integrante para dy/dx = x + y), então a solução particular que passa por qualquer ponto inicial é desenhada exatamente. O método de Euler segue a tangente por um passo h: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ); seu erro é aproximadamente proporcional a h. Nos sistemas acoplados, a trajetória de referência é calculada com RK4. O modelo de resfriamento supõe temperatura ambiente constante.

Como usar

Em Campo de direções, escolha uma Equação e clique ou toque no gráfico para desenhar a solução que passa por aquele ponto; marque Isóclina dy/dx = 0 para ver onde a inclinação é zero. Em Método de Euler, ajuste h e n e clique em Passo ▶ para avançar um passo por vez ou em ▶ Executar para animar; compare a tabela com a solução exata. Em Sistema acoplado, escolha um Sistema e clique em um ponto de partida. Redefinir restaura os valores iniciais.

Parâmetros que você pode mudar

• Tela Campo de direções, Método de Euler, Sistema acoplado
• Equação diferencial dy/dx = ky (crescimento ou decaimento exponencial), dy/dx = ay + b, dy/dx = ky(1 − y/L) (crescimento logístico), dT/dt = −k(T − Tₐ) (lei de resfriamento de Newton), dy/dx = x + y, dy/dx = xy, dy/dx = −x/y, dy/dx = x
• Coeficiente k (a em y′ = ay + b) da equação escolhida -2–2
• Segunda constante: b, capacidade de suporte L ou temperatura ambiente Tₐ (°C) -5–40
• Condição inicial: x₀ (t₀ no resfriamento) -5–40
• Condição inicial: y₀ = y(x₀) (T₀ no resfriamento) -5–100
• Passo h (tela Método de Euler) 0,05–10
• Número de passos n (tela Método de Euler) 1–40
• Mostrar a solução exata (telas de Euler e do sistema)
• Mostrar a isóclina dy/dx = 0 (tela Campo de direções)
• Sistema (tela Sistema acoplado) Predador–presa (Lotka–Volterra), x′ = y, y′ = −x (centro), x′ = y, y′ = −x − 0,5y (espiral), x′ = x + y, y′ = 4x + y (sela)
• Passo h do sistema 0,01–0,5
• Número de passos do sistema 1–200

Perguntas para explorar

1. Para dy/dx = x + y com y(0) = 1, por que o método de Euler sempre subestima a solução exata?
2. Como muda o erro do método de Euler em um x fixo quando o passo h é reduzido pela metade?
3. No sistema x′ = y, y′ = −x, por que a trajetória de Euler se abre em espiral em vez de se fechar?