Équations différentielles – champs de directions, solutions particulières et méthode d'Euler

Ce qu’elle montre

Une équation différentielle du premier ordre dy/dx = f(x, y) donne une pente en chaque point ; le champ de directions la représente par de petits segments, et toute courbe solution leur est tangente. Les solutions exactes viennent de formules obtenues en séparant les variables (un facteur intégrant pour dy/dx = x + y), donc la solution particulière par tout point initial est exacte. La méthode d'Euler suit la tangente sur un pas h : yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ) ; son erreur est à peu près proportionnelle à h. Les systèmes couplés sont comparés à RK4. Le modèle de refroidissement suppose une température ambiante constante.

Mode d’emploi

Dans Champ de directions, choisissez une Équation et cliquez ou touchez le graphique pour tracer la solution passant par ce point ; cochez Isocline dy/dx = 0 pour voir où la pente est nulle. Dans Méthode d'Euler, réglez h et n, puis cliquez sur Pas ▶ pour avancer pas à pas ou sur ▶ Lancer pour animer ; comparez le tableau avec la solution exacte. Dans Système couplé, choisissez un Système et cliquez sur un point de départ. Réinitialiser rétablit les valeurs de départ.

Paramètres modifiables

• Écran Champ de directions, Méthode d'Euler, Système couplé
• Équation différentielle dy/dx = ky (croissance ou décroissance exponentielle), dy/dx = ay + b, dy/dx = ky(1 − y/L) (croissance logistique), dT/dt = −k(T − Tₐ) (loi de refroidissement de Newton), dy/dx = x + y, dy/dx = xy, dy/dx = −x/y, dy/dx = x
• Coefficient k (a pour y′ = ay + b) de l'équation choisie -2–2
• Deuxième constante : b, capacité d'accueil L ou température ambiante Tₐ (°C) -5–40
• Condition initiale : x₀ (t₀ pour le refroidissement) -5–40
• Condition initiale : y₀ = y(x₀) (T₀ pour le refroidissement) -5–100
• Pas h (écran Méthode d'Euler) 0,05–10
• Nombre de pas n (écran Méthode d'Euler) 1–40
• Afficher la solution exacte (écrans Euler et système)
• Afficher l'isocline dy/dx = 0 (écran Champ de directions)
• Système (écran Système couplé) Proie–prédateur (Lotka–Volterra), x′ = y, y′ = −x (centre), x′ = y, y′ = −x − 0,5y (foyer), x′ = x + y, y′ = 4x + y (col)
• Pas h du système 0,01–0,5
• Nombre de pas du système 1–200

Questions à explorer

1. Pour dy/dx = x + y avec y(0) = 1, pourquoi la méthode d'Euler sous-estime-t-elle toujours la solution exacte ?
2. Comment varie l'erreur de la méthode d'Euler en un x fixé quand on divise le pas h par deux ?
3. Pour le système x′ = y, y′ = −x, pourquoi le tracé d'Euler s'éloigne-t-il en spirale au lieu de se refermer ?