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Differentialgleichungen – Richtungsfelder, spezielle Lösungen und Euler-Verfahren

MathematikAnalysisAlter 17–18

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Wählen Sie dy/dx = f(x, y) (exponentielles Wachstum oder exponentielle Abnahme, y′ = ay + b, logistisches Wachstum, newtonsches Abkühlungsgesetz, x + y, xy, −x/y, x) und betrachten Sie das Richtungsfeld; ein Klick zeichnet die spezielle Lösung durch diesen Punkt, mit der Rechnung durch Trennung der Variablen. Der Bildschirm Euler-Verfahren rechnet mit der Schrittweite h und vergleicht jeden Wert in einer Fehlertabelle mit der exakten Lösung, auch für h/2. Der Bildschirm Gekoppeltes System wendet das Euler-Verfahren auf dx/dt, dy/dt an (Räuber–Beute, Zentrum, Strudel, Sattel).

Lektion: Differentialgleichungen erster Ordnung: Richtungsfelder, Trennung der Variablen und Euler-Verfahren

Was sie zeigt

Eine Differentialgleichung erster Ordnung dy/dx = f(x, y) ordnet jedem Punkt eine Steigung zu; das Richtungsfeld zeigt sie als kurze Strecken, und jede Lösungskurve berührt diese Strecken. Die exakten Lösungen stammen aus Formeln, die man durch Trennung der Variablen erhält (bei dy/dx = x + y durch einen integrierenden Faktor), daher wird die spezielle Lösung durch jeden Anfangspunkt exakt gezeichnet. Das Euler-Verfahren folgt der Tangente um einen Schritt h: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ); sein Fehler ist ungefähr proportional zu h. Bei gekoppelten Systemen wird die Vergleichsbahn mit RK4 berechnet. Das Abkühlungsmodell setzt eine konstante Umgebungstemperatur voraus.

So funktioniert es

Wählen Sie unter Richtungsfeld eine Gleichung und klicken oder tippen Sie auf das Diagramm, um die Lösung durch diesen Punkt zu zeichnen; aktivieren Sie Isokline dy/dx = 0, um zu sehen, wo die Steigung null ist. Stellen Sie unter Euler-Verfahren h und n ein und klicken Sie auf Schritt ▶ für einen einzelnen Schritt oder auf ▶ Start für die Animation. Wählen Sie unter Gekoppeltes System ein System und klicken Sie auf einen Startpunkt. Zurücksetzen stellt die Startwerte wieder her.

Einstellbare Parameter

  • Bildschirm Richtungsfeld, Euler-Verfahren, Gekoppeltes System
  • Differentialgleichung dy/dx = ky (exponentielles Wachstum oder Abnahme), dy/dx = ay + b, dy/dx = ky(1 − y/L) (logistisches Wachstum), dT/dt = −k(T − Tₐ) (newtonsches Abkühlungsgesetz), dy/dx = x + y, dy/dx = xy, dy/dx = −x/y, dy/dx = x
  • Koeffizient k (a bei y′ = ay + b) der gewählten Gleichung -2–2
  • Zweite Konstante: b, Kapazität L oder Umgebungstemperatur Tₐ (°C) -5–40
  • Anfangsbedingung: x₀ (t₀ bei der Abkühlung) -5–40
  • Anfangsbedingung: y₀ = y(x₀) (T₀ bei der Abkühlung) -5–100
  • Schrittweite h (Bildschirm Euler-Verfahren) 0,05–10
  • Anzahl der Schritte n (Bildschirm Euler-Verfahren) 1–40
  • Exakte Lösung zeigen (Euler- und Systembildschirm)
  • Isokline dy/dx = 0 zeigen (Bildschirm Richtungsfeld)
  • System (Bildschirm Gekoppeltes System) Räuber–Beute (Lotka–Volterra), x′ = y, y′ = −x (Zentrum), x′ = y, y′ = −x − 0,5y (Strudel), x′ = x + y, y′ = 4x + y (Sattel)
  • Schrittweite h des Systems 0,01–0,5
  • Anzahl der Schritte des Systems 1–200

Fragen zum Erkunden

  1. Warum unterschätzt das Euler-Verfahren für dy/dx = x + y mit y(0) = 1 die exakte Lösung immer?
  2. Wie ändert sich der Fehler des Euler-Verfahrens an einer festen Stelle x, wenn man die Schrittweite h halbiert?
  3. Warum läuft die Euler-Bahn beim System x′ = y, y′ = −x spiralförmig nach außen, statt sich zu schließen?

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