Equação vetorial da reta no espaço – retas concorrentes, paralelas e reversas
MatemáticaVetores e geometria analíticaIdades 17–18
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Entre para usarUma reta r = a + λb num sistema de coordenadas 3D que pode ser girado (projeção 2D ou vista 3D): arraste o ponto P(λ) ao longo da reta e leia suas equações paramétricas e simétricas. Duas retas são classificadas como concorrentes, paralelas, coincidentes ou reversas, com a resolução passo a passo (igualar componentes, resolver duas equações, verificar a terceira), o ângulo entre elas, o ponto de interseção e a menor distância. Outros modos encontram o pé da perpendicular a partir de um ponto, onde e com que ângulo uma reta corta um plano, e usam r = a + tv para um movimento com velocidade constante e o instante de maior aproximação.
Aula: Equação vetorial da reta no espaço; posições relativas, ângulos e distâncias
O que mostra
No espaço, uma reta é escrita r = a + λb, em que a é o vetor posição de um de seus pontos e b é um vetor diretor. Ao contrário do plano, duas retas no espaço podem não se encontrar mesmo sem serem paralelas: são retas reversas. Igualar as componentes dá três equações em λ e μ; resolver duas e verificar a terceira decide se as retas se cortam. O produto escalar dá o ângulo entre as retas e o produto vetorial dá a menor distância entre retas reversas. Com r = a + tv, a mesma equação descreve um movimento com velocidade constante.
Como usar
Escolha um Modo e digite as coordenadas de a, b, c e d, ou escolha um Exemplo. Arraste o fundo para girar e arraste P(λ) ou Q(μ) ao longo das retas, ou use os controles deslizantes λ e μ. A resolução abaixo da figura se atualiza passo a passo. Alterne entre 2D e 3D; Vista inicial restaura o ângulo. No modo de movimento, clique em Reproduzir para mover os objetos e observe o gráfico da distância.
Parâmetros que você pode mudar
- Modo Uma reta r = a + λb, Duas retas: concorrentes, paralelas ou reversas, Distância de um ponto a uma reta, Uma reta e um plano, Movimento com velocidade constante r = a + tv
- a (ponto A, posição inicial do objeto A) – coordenada x -10–10
- a – coordenada y -10–10
- a – coordenada z -10–10
- b (vetor diretor, velocidade do objeto A) – componente x -10–10
- b – componente y -10–10
- b – componente z -10–10
- c (ponto C de L₂, ponto Q, ponto do plano, posição inicial do objeto B) – coordenada x -10–10
- c – coordenada y -10–10
- c – coordenada z -10–10
- d (direção de L₂, normal do plano, velocidade do objeto B) – componente x -10–10
- d – componente y -10–10
- d – componente z -10–10
- Valor inicial de λ (tempo t no modo de movimento) -10–10
- Figura 3D (three.js), 2D (projeção que gira)
Perguntas para explorar
- Duas retas no espaço não são paralelas e não se encontram. Por que isso é impossível no plano, mas possível aqui?
- Arraste P e Q até |PQ| ficar mínimo. Qual é então a relação do segmento PQ com as duas retas?
- Se as trajetórias de dois objetos se cruzam, os objetos precisam colidir? Use os exemplos para decidir.
