Retas e circunferências no plano cartesiano
MatemáticaVetores e geometria analíticaIdades 15–16
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A reta Δ: ax + by + c = 0 tem vetor normal n = (a; b) e vetor diretor u = (−b; a) desenhados na própria figura; a circunferência (C) tem centro I e raio R. Arraste o centro I, o ponto livre M ou a reta inteira: as distâncias d(I, Δ) e d(M, Δ) são calculadas por |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), e a posição relativa de Δ e (C) (secante, tangente ou exterior), com os pontos de interseção, o ângulo entre Δ e Ox e o ângulo entre Δ e IM se atualizam na hora. A tela Dois pontos mostra o ponto médio, a distância AB a partir de um triângulo retângulo, o coeficiente angular, a equação de AB, os coeficientes angulares perpendiculares, a mediatriz, o ponto que divide AB numa razão e as retas por um ponto paralelas ou perpendiculares a AB; a tela Polígono calcula o perímetro e a área pela fórmula do cadarço a partir das coordenadas dos vértices. A tela Equações da reta escreve a reta d₁ que passa por A(x₀; y₀) com vetor diretor u = (u₁; u₂) nas formas vetorial, paramétrica, simétrica, geral e reduzida ao mesmo tempo enquanto você arrasta A e u; um ponto P = A + t·u percorre d₁ conforme t varia, e uma segunda reta d₂ mostra a posição relativa (concorrentes com o ângulo entre elas, paralelas ou coincidentes) a partir dos vetores diretores e da solução do sistema.
Aula: Equação da reta, distância e ângulo, equação da circunferência
O que mostra
Uma reta Δ: ax + by + c = 0 tem vetor normal n = (a; b) e vetor diretor u = (−b; a). Comparar a distância do centro I da circunferência a Δ com o raio R mostra se a reta corta, toca ou não toca a circunferência. A tela Dois pontos constrói o básico a partir de A e B: ponto médio, distância por Pitágoras, coeficiente angular m = Δy/Δx, a equação de AB em duas formas, retas perpendiculares com m₁ · m₂ = −1, a mediatriz e a divisão de AB numa razão. A tela Polígono calcula o perímetro e a área pela fórmula do cadarço. A tela Equações da reta relaciona as equações vetorial, paramétricas, simétrica, geral e reduzida de uma mesma reta e decide como duas retas se encontram a partir dos vetores diretores.
Como usar
Em Reta e circunferência, digite o Coeficiente a, o Coeficiente b e o Coeficiente c, defina o centro I e o Raio R e arraste a reta Δ até d(I, Δ) ficar igual a R. Em Dois pontos, arraste A e B e marque Triângulo retângulo (Δx, Δy), Mediatriz, Ponto P em AB ou Retas por C; os controles AP : PB movem P. Em Polígono, arraste os vértices, use Adicionar vértice ou Remover vértice e acompanhe a tabela. Em Equações da reta, arraste A e a ponta de u, mova Parâmetro t ou clique em Iniciar, e marque Segunda reta d₂ para comparar duas retas; tente as Tarefas.
Parâmetros que você pode mudar
- Coeficiente a (de x) -6–6
- Coeficiente b (de y) -6–6
- Coeficiente c -20–20
- Centro I: abscissa -6–6
- Centro I: ordenada -6–6
- Raio R 0,5–6
- Tela Reta e circunferência, Dois pontos, Polígono, Equações da reta
- Ponto A: abscissa -7–7
- Ponto A: ordenada -7–7
- Ponto B: abscissa -7–7
- Ponto B: ordenada -7–7
- Razão AP : PB, parte p 1–9
- Razão AP : PB, parte q 1–9
- d₁: ponto A, abscissa x₀ -7–7
- d₁: ponto A, ordenada y₀ -7–7
- d₁: vetor diretor, u₁ -6–6
- d₁: vetor diretor, u₂ -6–6
- Parâmetro t -4–4
- Mostrar uma segunda reta d₂
- d₂: ponto B, abscissa -7–7
- d₂: ponto B, ordenada -7–7
- d₂: vetor diretor, v₁ -6–6
- d₂: vetor diretor, v₂ -6–6
Perguntas para explorar
- Se a, b e c forem multiplicados por 2, a reta e a distância d(I, Δ) mudam? Por quê?
- Para a circunferência mostrada, quais valores do Coeficiente c tornam Δ tangente a (C)?
- Por que os vetores n = (a; b) e u = (−b; a) são sempre perpendiculares?
