Planos e esferas no espaço 3D – distância do centro ao plano
MatemáticaVetores e geometria analíticaIdades 17–18
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Em um sistema de coordenadas Oxyz que pode ser girado, o plano (P): Ax + By + Cz + D = 0 e uma esfera de centro I e raio R são desenhados junto com o vetor normal n = (A; B; C) e o segmento perpendicular IH. A simulação calcula d(I, (P)) pela fórmula da distância e compara com R para mostrar se o plano corta a esfera em uma circunferência (desenhando essa circunferência de interseção, de raio r = √(R² − d²)), se é tangente a ela ou se não a toca. O botão 2D | 3D abre uma vista 3D real (three.js): esfera transparente, plano (P), segmento IH e circunferência de interseção (ou ponto de tangência), que você pode girar e ampliar.
Aula: Equação do plano, equação da esfera, distância de ponto a plano
O que mostra
Em coordenadas espaciais, o plano Ax + By + Cz + D = 0 tem vetor normal n = (A; B; C), e a distância de um ponto I(x₀; y₀; z₀) a ele é d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²). Comparar d com o raio R de uma esfera de centro I dá a posição relativa: se d < R, o plano corta a esfera numa circunferência de centro H, o pé da perpendicular por I, com raio √(R² − d²); se d = R, é tangente em H; se d > R, não há ponto comum.
Como usar
Ajuste Coeficiente A do plano, Coeficiente B e Coeficiente C para fixar a direção normal; depois mude Coeficiente D e veja o plano deslizar paralelo a si mesmo. Escolha um Centro I da esfera e ajuste Raio R. Peça aos alunos que prevejam a posição relativa a partir de d(I, (P)) no painel de informações antes de conferir o desenho. O botão 3D abre uma vista giratória; Vista inicial restaura a câmera.
Parâmetros que você pode mudar
- Coeficiente A do plano -4–4
- Coeficiente B -4–4
- Coeficiente C -4–4
- Coeficiente D -8–8
- Centro I da esfera (também ajustável pelos controles deslizantes) I(0; 0; 0), I(1; 1; 1), I(2; −1; 1), I(−1; 2; 2)
- Raio R 0,5–4
Perguntas para explorar
- Com A, B e C fixos, que valores de D tornam o plano tangente à esfera?
- Quando o raio da circunferência de interseção é igual ao raio R da esfera?
- Que papel o ponto H tem na circunferência de interseção, e como o segmento IH se relaciona com o plano?
