Représentation paramétrique d'une droite de l'espace – droites sécantes, parallèles ou non coplanaires
MathématiquesVecteurs et géométrie repérée17–18 ans
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Connectez-vous pour lancerUne droite r = a + λb dans un repère de l'espace que l'on peut faire tourner (projection 2D ou vue 3D) : faites glisser le point P(λ) le long de la droite et lisez sa représentation paramétrique et ses équations cartésiennes. Deux droites sont classées sécantes, parallèles, confondues ou non coplanaires, avec la résolution pas à pas (égaler les coordonnées, résoudre deux équations, vérifier la troisième), l'angle entre elles, le point d'intersection et la plus courte distance. D'autres modes donnent le projeté orthogonal d'un point, l'intersection d'une droite et d'un plan avec l'angle formé, et utilisent r = a + tv pour un mouvement rectiligne uniforme et l'instant où deux objets sont les plus proches.
Leçon : Représentation paramétrique d'une droite de l'espace ; positions relatives, angles et distances
Ce qu’elle montre
Dans l'espace, une droite s'écrit r = a + λb, où a est le vecteur position d'un de ses points et b un vecteur directeur. Contrairement au plan, deux droites de l'espace peuvent ne pas se couper sans être parallèles : elles sont alors non coplanaires. En égalant les coordonnées, on obtient trois équations en λ et μ ; en résoudre deux puis vérifier la troisième indique si les droites sont sécantes. Le produit scalaire donne l'angle entre les droites, le produit vectoriel la plus courte distance entre droites non coplanaires. Avec r = a + tv, la même équation décrit un mouvement rectiligne uniforme.
Mode d’emploi
Choisissez un Mode et saisissez les coordonnées de a, b, c et d, ou choisissez un Exemple. Faites glisser le fond pour tourner, et faites glisser P(λ) ou Q(μ) le long des droites, ou utilisez les curseurs λ et μ. La résolution sous la figure se met à jour pas à pas. Passez de 2D à 3D ; Vue initiale rétablit l'angle. En mode mouvement, cliquez sur Lecture pour déplacer les objets et observez le graphique de la distance.
Paramètres modifiables
- Mode Une droite r = a + λb, Deux droites : sécantes, parallèles ou non coplanaires, Distance d'un point à une droite, Une droite et un plan, Mouvement rectiligne uniforme r = a + tv
- a (point A, position initiale de l'objet A) – abscisse x -10–10
- a – ordonnée y -10–10
- a – cote z -10–10
- b (vecteur directeur, vitesse de l'objet A) – composante x -10–10
- b – composante y -10–10
- b – composante z -10–10
- c (point C de L₂, point Q, point du plan, position initiale de l'objet B) – abscisse x -10–10
- c – ordonnée y -10–10
- c – cote z -10–10
- d (direction de L₂, normale du plan, vitesse de l'objet B) – composante x -10–10
- d – composante y -10–10
- d – composante z -10–10
- Valeur initiale de λ (instant t en mode mouvement) -10–10
- Figure 3D (three.js), 2D (projection orientable)
Questions à explorer
- Deux droites de l'espace ne sont pas parallèles et ne se coupent pas. Pourquoi est-ce impossible dans le plan, mais possible ici ?
- Faites glisser P et Q pour rendre |PQ| minimal. Quelle relation le segment [PQ] a-t-il alors avec les deux droites ?
- Si les trajectoires de deux objets se croisent, les objets entrent-ils forcément en collision ? Utilisez les exemples pour décider.
