Ecuación vectorial de la recta en el espacio – rectas secantes, paralelas y que se cruzan
MatemáticasVectores y geometría analíticaEdades 17–18
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Inicia sesión para usarUna recta r = a + λb en un sistema de coordenadas 3D que se puede girar (proyección 2D o vista 3D): arrastra el punto P(λ) por la recta y lee sus ecuaciones paramétricas y continua. Dos rectas se clasifican como secantes, paralelas, coincidentes o que se cruzan, con la resolución paso a paso (igualar componentes, resolver dos ecuaciones, comprobar la tercera), el ángulo entre ellas, el punto de corte y la distancia mínima. Otros modos hallan el pie de la perpendicular desde un punto, dónde y con qué ángulo corta una recta a un plano, y usan r = a + tv para un movimiento con velocidad constante y el instante de máximo acercamiento.
Lección: Ecuación vectorial de la recta en el espacio; posiciones relativas, ángulos y distancias
Qué muestra
En el espacio, una recta se escribe r = a + λb, donde a es el vector de posición de uno de sus puntos y b es un vector director. A diferencia del plano, dos rectas del espacio pueden no cortarse aunque no sean paralelas: se dice que se cruzan. Igualar las componentes da tres ecuaciones en λ y μ; resolver dos y comprobar la tercera decide si las rectas se cortan. El producto escalar da el ángulo entre rectas y el producto vectorial, la distancia mínima entre rectas que se cruzan. Con r = a + tv la misma ecuación describe un movimiento con velocidad constante.
Cómo usarla
Elige un Modo y escribe las coordenadas de a, b, c y d, o elige un Ejemplo. Arrastra el fondo para girar y arrastra P(λ) o Q(μ) por sus rectas, o usa los deslizadores λ y μ. La resolución bajo la figura se actualiza paso a paso. Cambia entre 2D y 3D; Vista inicial restablece el ángulo. En el modo de movimiento, pulsa Reproducir para mover los objetos y observa la gráfica de la distancia.
Parámetros que puedes cambiar
- Modo Una recta r = a + λb, Dos rectas: secantes, paralelas o que se cruzan, Distancia de un punto a una recta, Una recta y un plano, Movimiento con velocidad constante r = a + tv
- a (punto A, posición inicial del objeto A) – coordenada x -10–10
- a – coordenada y -10–10
- a – coordenada z -10–10
- b (vector director, velocidad del objeto A) – componente x -10–10
- b – componente y -10–10
- b – componente z -10–10
- c (punto C de L₂, punto Q, punto del plano, posición inicial del objeto B) – coordenada x -10–10
- c – coordenada y -10–10
- c – coordenada z -10–10
- d (dirección de L₂, normal del plano, velocidad del objeto B) – componente x -10–10
- d – componente y -10–10
- d – componente z -10–10
- Valor inicial de λ (tiempo t en el modo de movimiento) -10–10
- Figura 3D (three.js), 2D (proyección que se puede girar)
Preguntas para explorar
- Dos rectas del espacio no son paralelas y no se cortan. ¿Por qué es imposible en el plano pero posible aquí?
- Arrastra P y Q hasta que |PQ| sea mínimo. ¿Qué relación tiene entonces el segmento PQ con ambas rectas?
- Si las trayectorias de dos objetos se cortan, ¿deben chocar los objetos? Usa los ejemplos para decidir.
