Geraden im Raum in Parameterform – schneidend, parallel und windschief
MathematikVektoren und analytische GeometrieAlter 17–18
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Zum Starten anmeldenEine Gerade r = a + λb in einem drehbaren räumlichen Koordinatensystem (2D-Projektion oder 3D-Ansicht): Ziehen Sie den Punkt P(λ) entlang der Geraden und lesen Sie die Parametergleichungen und die Koordinatengleichungen ab. Zwei Geraden werden als schneidend, parallel, identisch oder windschief eingeordnet, mit schrittweiser Rechnung (Komponenten gleichsetzen, zwei Gleichungen lösen, die dritte prüfen), dem Schnittwinkel, dem Schnittpunkt und dem kürzesten Abstand. Weitere Modi bestimmen den Lotfußpunkt eines Punktes, Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene und nutzen r = a + tv für gleichförmige Bewegung und den Zeitpunkt der größten Annäherung zweier Körper.
Lektion: Geraden im Raum in Parameterform; Lagebeziehungen, Winkel und Abstände
Was sie zeigt
Im Raum schreibt man eine Gerade als r = a + λb, wobei a der Ortsvektor eines Geradenpunktes (Stützvektor) und b ein Richtungsvektor ist. Anders als in der Ebene können sich zwei Geraden im Raum verfehlen, ohne parallel zu sein: Sie sind windschief. Gleichsetzen der Komponenten liefert drei Gleichungen in λ und μ; löst man zwei und prüft die dritte, weiß man, ob sich die Geraden schneiden. Das Skalarprodukt liefert den Schnittwinkel, das Kreuzprodukt den kürzesten Abstand windschiefer Geraden. Mit r = a + tv beschreibt dieselbe Gleichung eine gleichförmige Bewegung.
So funktioniert es
Wählen Sie einen Modus und geben Sie die Koordinaten von a, b, c und d ein, oder wählen Sie ein Beispiel. Ziehen Sie den Hintergrund, um zu drehen, und ziehen Sie P(λ) oder Q(μ) entlang ihrer Geraden oder nutzen Sie die Regler λ und μ. Die Rechnung unter dem Bild wird schrittweise aktualisiert. Wechseln Sie zwischen 2D und 3D; Startansicht setzt den Blickwinkel zurück. Im Bewegungsmodus starten Sie mit Abspielen die Bewegung und beobachten den Abstandsgraphen.
Einstellbare Parameter
- Modus Eine Gerade r = a + λb, Zwei Geraden: schneidend, parallel oder windschief, Abstand eines Punktes von einer Geraden, Gerade und Ebene, Gleichförmige Bewegung r = a + tv
- a (Punkt A, Startort von Körper A) – x-Koordinate -10–10
- a – y-Koordinate -10–10
- a – z-Koordinate -10–10
- b (Richtungsvektor, Geschwindigkeit von Körper A) – x-Komponente -10–10
- b – y-Komponente -10–10
- b – z-Komponente -10–10
- c (Punkt C auf L₂, Punkt Q, Punkt der Ebene, Startort von Körper B) – x-Koordinate -10–10
- c – y-Koordinate -10–10
- c – z-Koordinate -10–10
- d (Richtung von L₂, Normalenvektor der Ebene, Geschwindigkeit von Körper B) – x-Komponente -10–10
- d – y-Komponente -10–10
- d – z-Komponente -10–10
- Startwert von λ (Zeit t im Bewegungsmodus) -10–10
- Bild 3D (three.js), 2D (drehbare Projektion)
Fragen zum Erkunden
- Zwei Geraden im Raum sind nicht parallel und schneiden sich nicht. Warum ist das in der Ebene unmöglich, hier aber möglich?
- Ziehen Sie P und Q so, dass |PQ| minimal wird. Wie liegt die Strecke PQ dann zu beiden Geraden?
- Müssen zwei Körper zusammenstoßen, wenn sich ihre Bahnen kreuzen? Entscheiden Sie anhand der Beispiele.
