Rectas y circunferencias en el plano cartesiano
MatemáticasVectores y geometría analíticaEdades 15–16
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La recta Δ: ax + by + c = 0 tiene vector normal n = (a; b) y vector director u = (−b; a), dibujados sobre la figura; la circunferencia (C) tiene centro I y radio R. Arrastra el centro I, el punto libre M o la recta entera: las distancias d(I, Δ) y d(M, Δ) se calculan con |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), y la posición relativa de Δ y (C) (secante, tangente o exterior) junto con los puntos de corte, el ángulo entre Δ y Ox y el ángulo entre Δ e IM se actualizan al instante. La pantalla Dos puntos da el punto medio, la distancia AB a partir de un triángulo rectángulo, la pendiente, la ecuación de AB, las pendientes perpendiculares, la mediatriz, el punto que divide AB en una razón y las rectas por un punto paralelas o perpendiculares a AB; la pantalla Polígono calcula el perímetro y el área con la fórmula de la lazada a partir de las coordenadas de los vértices. La pantalla Ecuaciones de la recta escribe la recta d₁ que pasa por A(x₀; y₀) con vector director u = (u₁; u₂) en forma vectorial, paramétrica, continua, general y explícita a la vez mientras arrastras A y u; un punto P = A + t·u recorre d₁ al variar t, y una segunda recta d₂ da la posición relativa (secantes con el ángulo que forman, paralelas o coincidentes) a partir de los vectores directores y de la solución del sistema.
Lección: Ecuación de la recta, distancias y ángulos, ecuación de la circunferencia
Qué muestra
Una recta Δ: ax + by + c = 0 tiene vector normal n = (a; b) y vector director u = (−b; a). Comparar la distancia del centro I de la circunferencia a Δ con el radio R indica si la recta corta, toca o no toca la circunferencia. La pantalla Dos puntos construye lo básico a partir de A y B: punto medio, distancia por Pitágoras, pendiente m = Δy/Δx, la ecuación de AB en dos formas, pendientes perpendiculares con m₁ · m₂ = −1, la mediatriz y la división de AB en una razón. La pantalla Polígono calcula el perímetro y el área con la fórmula de la lazada. La pantalla Ecuaciones de la recta relaciona las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, general y explícita de una misma recta y decide cómo se cortan dos rectas a partir de sus vectores directores.
Cómo usarla
En Recta y circunferencia, introduce el Coeficiente a, el Coeficiente b y el Coeficiente c, fija el centro I y el Radio R, y arrastra la recta Δ hasta que d(I, Δ) sea igual a R. En Dos puntos, arrastra A y B y marca Triángulo rectángulo (Δx, Δy), Mediatriz, Punto P en AB o Rectas por C; los deslizadores AP : PB mueven P. En Polígono, arrastra los vértices, usa Añadir vértice o Quitar vértice y sigue la tabla de la fórmula. En Ecuaciones de la recta, arrastra A y el extremo de u, mueve Parámetro t o pulsa Iniciar, y marca Segunda recta d₂ para comparar dos rectas; prueba las Tareas.
Parámetros que puedes cambiar
- Coeficiente a (de x) -6–6
- Coeficiente b (de y) -6–6
- Coeficiente c -20–20
- Centro I: coordenada x -6–6
- Centro I: coordenada y -6–6
- Radio R 0,5–6
- Pantalla Recta y circunferencia, Dos puntos, Polígono, Ecuaciones de la recta
- Punto A: coordenada x -7–7
- Punto A: coordenada y -7–7
- Punto B: coordenada x -7–7
- Punto B: coordenada y -7–7
- Razón AP : PB, parte p 1–9
- Razón AP : PB, parte q 1–9
- d₁: punto A, abscisa x₀ -7–7
- d₁: punto A, ordenada y₀ -7–7
- d₁: vector director, u₁ -6–6
- d₁: vector director, u₂ -6–6
- Parámetro t -4–4
- Mostrar una segunda recta d₂
- d₂: punto B, abscisa -7–7
- d₂: punto B, ordenada -7–7
- d₂: vector director, v₁ -6–6
- d₂: vector director, v₂ -6–6
Preguntas para explorar
- Si se multiplican a, b y c por 2, ¿cambian la recta y la distancia d(I, Δ)? ¿Por qué?
- Para la circunferencia mostrada, ¿qué valores del Coeficiente c hacen que Δ sea tangente a (C)?
- ¿Por qué los vectores n = (a; b) y u = (−b; a) son siempre perpendiculares?
