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Droites et cercles dans un repère

MathématiquesVecteurs et géométrie repérée15–16 ans

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Utiliser avec ma classe

La droite Δ : ax + by + c = 0 a pour vecteur normal n = (a ; b) et pour vecteur directeur u = (−b ; a), tracés sur la figure ; le cercle (C) a pour centre I et pour rayon R. Faites glisser le centre I, le point libre M ou la droite entière : les distances d(I, Δ) et d(M, Δ) sont calculées par |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), et la position relative de Δ et (C) (sécante, tangente ou disjointe) avec les éventuels points d'intersection, l'angle entre Δ et Ox et l'angle entre Δ et IM se mettent à jour immédiatement. L'écran Deux points donne le milieu, la distance AB à partir d'un triangle rectangle, le coefficient directeur, l'équation de AB, les coefficients directeurs perpendiculaires, la médiatrice, le point qui partage [AB] dans un rapport donné et les droites passant par un point, parallèles ou perpendiculaires à AB ; l'écran Polygone calcule le périmètre et l'aire par la formule du lacet à partir des coordonnées des sommets. L'écran Équations de droite écrit la droite d₁ passant par A(x₀ ; y₀) de vecteur directeur u = (u₁ ; u₂) sous forme vectorielle, paramétrique, symétrique, cartésienne et réduite en même temps pendant que vous faites glisser A et u ; un point P = A + t·u parcourt d₁ quand t varie, et une seconde droite d₂ donne la position relative (sécantes avec l'angle qu'elles forment, parallèles ou confondues) à partir des vecteurs directeurs et de la solution du système.

Leçon : Équation de droite, distance et angle, équation de cercle

Ce qu’elle montre

Une droite Δ : ax + by + c = 0 a pour vecteur normal n = (a ; b) et pour vecteur directeur u = (−b ; a). Comparer la distance du centre I à Δ avec le rayon R indique si la droite coupe, touche ou évite le cercle. L'écran Deux points construit les bases à partir de A et B : milieu, distance par Pythagore, coefficient directeur m = Δy/Δx, l'équation de AB sous deux formes, droites perpendiculaires avec m₁ × m₂ = −1, médiatrice et partage de [AB] dans un rapport. L'écran Polygone donne le périmètre et l'aire par la formule du lacet. L'écran Équations de droite relie les équations vectorielle, paramétrique, symétrique, cartésienne et réduite d'une même droite et détermine comment deux droites se coupent à partir de leurs vecteurs directeurs.

Mode d’emploi

Sur Droite et cercle, saisissez le Coefficient a, le Coefficient b et le Coefficient c, réglez le centre I et le Rayon R, puis faites glisser la droite Δ jusqu'à ce que d(I, Δ) soit égale à R. Sur Deux points, faites glisser A et B et cochez Triangle rectangle (Δx, Δy), Médiatrice, Point P sur AB ou Droites passant par C ; les curseurs AP : PB déplacent P. Sur Polygone, faites glisser les sommets, utilisez Ajouter un sommet ou Retirer un sommet et suivez le tableau. Dans Équations de droite, faites glisser A et l'extrémité de u, réglez Paramètre t ou cliquez sur Lancer, et cochez Seconde droite d₂ pour comparer deux droites ; essayez les Tâches.

Paramètres modifiables

  • Coefficient a (de x) -6–6
  • Coefficient b (de y) -6–6
  • Coefficient c -20–20
  • Centre I : abscisse -6–6
  • Centre I : ordonnée -6–6
  • Rayon R 0,5–6
  • Écran Droite et cercle, Deux points, Polygone, Équations d'une droite
  • Point A : abscisse -7–7
  • Point A : ordonnée -7–7
  • Point B : abscisse -7–7
  • Point B : ordonnée -7–7
  • Rapport AP : PB, partie p 1–9
  • Rapport AP : PB, partie q 1–9
  • d₁ : point A, abscisse x₀ -7–7
  • d₁ : point A, ordonnée y₀ -7–7
  • d₁ : vecteur directeur, u₁ -6–6
  • d₁ : vecteur directeur, u₂ -6–6
  • Paramètre t -4–4
  • Afficher une seconde droite d₂
  • d₂ : point B, abscisse -7–7
  • d₂ : point B, ordonnée -7–7
  • d₂ : vecteur directeur, v₁ -6–6
  • d₂ : vecteur directeur, v₂ -6–6

Questions à explorer

  1. Si l'on multiplie a, b et c par 2, la droite et la distance d(I, Δ) changent-elles ? Pourquoi ?
  2. Pour le cercle affiché, quelles valeurs du Coefficient c rendent Δ tangente à (C) ?
  3. Pourquoi les vecteurs n = (a ; b) et u = (−b ; a) sont-ils toujours orthogonaux ?

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