المعادلات التفاضلية – حقول الميول والحلول الخاصة وطريقة أويلر

ماذا تعرض

تعطي المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى dy/dx = f(x, y) ميلًا عند كل نقطة؛ ويرسم حقل الميول هذه الميول قطعًا قصيرة، وكل منحنى حل يمسّ هذه القطع. تأتي الحلول الدقيقة من صيغ نحصل عليها بفصل المتغيرات (وبعامل تكامل في حالة dy/dx = x + y)، لذا يُرسم الحل الخاص المار بأي نقطة ابتدائية رسمًا دقيقًا. تتبع طريقة أويلر المماس مسافة خطوة h: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ)، وخطؤها يتناسب تقريبًا مع h. وفي الأنظمة المترابطة يُحسب المسار المرجعي بطريقة RK4. ويفترض نموذج التبريد أن درجة حرارة الوسط المحيط ثابتة.

طريقة الاستخدام

في «حقل الميول» اختر «المعادلة» ثم انقر الرسم أو المسه لرسم الحل المار بتلك النقطة؛ وفعّل «خط تساوي الميل dy/dx = 0» لترى أين يكون الميل صفرًا. في «طريقة أويلر» اضبط h وn، ثم اضغط «خطوة ▶» للتقدم خطوة خطوة أو «▶ تشغيل» للعرض المتحرك، وقارن الجدول بالحل الدقيق. في «نظام مترابط» اختر «النظام» وانقر نقطة البداية. ويعيد زر «إعادة الضبط» القيم الابتدائية.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة حقل الميول, طريقة أويلر, نظام مترابط
• المعادلة التفاضلية dy/dx = ky (نمو أو اضمحلال أسي), dy/dx = ay + b, dy/dx = ky(1 − y/L) (نمو لوجستي), dT/dt = −k(T − Tₐ) (قانون نيوتن للتبريد), dy/dx = x + y, dy/dx = xy, dy/dx = −x/y, dy/dx = x
• المعامل k (a في y′ = ay + b) للمعادلة المختارة -2–2
• الثابت الثاني: b، أو السعة الحملية L، أو درجة حرارة الوسط المحيط Tₐ (°C) -5–40
• الشرط الابتدائي: x₀ (t₀ في التبريد) -5–40
• الشرط الابتدائي: y₀ = y(x₀) (T₀ في التبريد) -5–100
• طول الخطوة h (شاشة طريقة أويلر) 0.05–10
• عدد الخطوات n (شاشة طريقة أويلر) 1–40
• إظهار الحل الدقيق (شاشتا أويلر والنظام)
• إظهار خط تساوي الميل dy/dx = 0 (شاشة حقل الميول)
• النظام (شاشة نظام مترابط) مفترس وفريسة (لوتكا–فولتيرا), x′ = y، y′ = −x (مركز), x′ = y، y′ = −x − 0.5y (حلزون), x′ = x + y، y′ = 4x + y (نقطة سرجية)
• طول الخطوة h للنظام 0.01–0.5
• عدد خطوات النظام 1–200

أسئلة للاستكشاف

1. في المعادلة dy/dx = x + y مع y(0) = 1، لماذا تعطي طريقة أويلر دائمًا قيمًا أقل من الحل الدقيق؟
2. كيف يتغير خطأ طريقة أويلر عند x ثابتة عندما يُنصَّف طول الخطوة h؟
3. في النظام x′ = y، y′ = −x، لماذا يلتف مسار أويلر حلزونيًا نحو الخارج بدلًا من أن ينغلق؟