المتغير العشوائي المنفصل – القيمة المتوقعة بوصفها المتوسط على المدى الطويل

ماذا تعرض

يأخذ المتغير العشوائي المنفصل X القيم xᵢ باحتمالات pᵢ مجموعها 1. القيمة المتوقعة E(X) = Σxᵢpᵢ هي المتوسط على المدى الطويل، ويقيس التباين V(X) التشتت، وσ = √V هو الانحراف المعياري. يتبع موقفا الاختبار والقطع المعيبة توزيع ذي الحدين B(n, p)، حيث E = np وV = np(1 − p). في لعبة النرد تكلف كل جولة 10 USD، وتساوي E(X) الجائزة ناقص 50 مقسومًا على 6، فلا تكون اللعبة عادلة إلا إذا كانت جائزة الرقم 6 تساوي 50 USD. وتُظهر المحاولات بالمحاكاة أن المتوسط التجريبي يستقر قرب E(X)، وهذا هو قانون الأعداد الكبيرة.

طريقة الاستخدام

اختر «الموقف»، واضبط n وp (والجائزة في لعبة النرد)، واقرأ جدول التوزيع مع E(X) وV(X) وσ. اطلب من الطلاب أن يقرروا من القيمة المتوقعة هل تستحق اللعبة المشاركة قبل أي محاكاة. ثم اضغط «+1 محاولة» بضع مرات، ثم +100 و+1000، ولاحظ الخط الأحمر للمتوسط المتراكم يتذبذب أولًا ثم يستقر قرب E(X). اضغط «مسح» لتكرار التجربة ورؤية مسار مختلف.

المعاملات القابلة للتغيير

• الموقف لعبة نرد بجائزة, التخمين في اختبار اختيار من متعدد, قطع معيبة في دفعة إنتاج
• عدد الجولات / الأسئلة / حجم الدفعة 1–40
• احتمال النجاح / نسبة العيوب 0.01–0.99
• جائزة الحصول على 6 (اللعبة) 0–100 USD

أسئلة للاستكشاف

1. عند تخمين إجابات 10 أسئلة لكل منها 4 خيارات، كم إجابة صحيحة تتوقع في المتوسط؟
2. ما أصغر جائزة للرقم 6 تجعل لعبة النرد في صالح اللاعب؟
3. ماذا يخبرك التباين الكبير عن مخاطرة جولة واحدة أو دفعة واحدة؟