التباديل والترتيبات والتوافيق – اختيار k عنصرًا من n
الرياضياتالاحتمالات15–16 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيلتصطف n عناصر مسماة A وB وC… في صف، ويضغط الطالب ليختار k منها مع مراعاة الترتيب أو دون مراعاته، ثم يقارن اختياره بالقائمة الكاملة لكل الاختيارات الممكنة. ويتبع العدد القوانين Pₙ = n! وAₙᵏ = n!/(n − k)! وCₙᵏ = n!/(k!(n − k)!)، مع كتابة حاصل الضرب مفصلًا لكل منها؛ ويُبرز مثلث باسكال في الأسفل خانة Cₙᵏ، فيبيّن أن Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.
الدرس: التباديل والترتيبات والتوافيق؛ مثلث باسكال (نظرية ذات الحدين)
ماذا تعرض
تتوقف مسائل العد على سؤال واحد: هل للترتيب أهمية؟ مع n عناصر مسماة، يرتّب التبديل العناصر كلها (Pₙ = n!)، ويختار الترتيب k منها مع مراعاة الترتيب (Aₙᵏ = n!/(n − k)!، ويُكتب غالبًا ⁿPₖ)، ويختار التوفيق k منها دون مراعاة الترتيب (Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!)، ويُكتب غالبًا ⁿCₖ). وعرض كل النتائج يوضح العلاقة بينها: كل توفيق من k عناصر يمكن ترتيبه بعدد k! من الطرق، لذا Aₙᵏ = k!·Cₙᵏ. ويحمل مثلث باسكال الأعداد نفسها، وكل عدد فيه مجموع العددين اللذين فوقه.
طريقة الاستخدام
اضبط «عدد العناصر n» و«عدد العناصر المختارة k»، ثم اختر نوع العد بأحد الأزرار «التباديل Pₙ» أو «الترتيبات Aₙᵏ» أو «التوافيق Cₙᵏ». يضغط الطلاب العناصر واحدًا تلو الآخر ويلاحظون تناقص الاختيارات المتبقية، وهذا هو مبدأ الضرب، ثم يجدون اختيارهم في القائمة الكاملة. ثبّت n وk وبدّل بين الترتيبات والتوافيق لتقارن طولي القائمتين. يبدأ «مسح الاختيار» من جديد، ويحدد خيار «إظهار مثلث باسكال» خانة Cₙᵏ.
المعاملات القابلة للتغيير
- عدد العناصر n 1–7
- عدد العناصر المختارة k 1–7
- نوع العد تبديل (ترتيب العناصر n كلها), ترتيب (اختيار k مع مراعاة الترتيب), توفيق (اختيار k دون مراعاة الترتيب)
- إظهار مثلث باسكال
أسئلة للاستكشاف
- اختيار قائد ونائب له وأمين صندوق من 7 طلاب: هل هو ترتيب أم توفيق؟ وكم طريقة توجد؟
- عندما n = 5 وk = 3، كم ترتيبًا يقابل كل توفيق؟ ولماذا؟
- لماذا يساوي Cₙᵏ العدد Cₙⁿ⁻ᵏ، وأين يُظهر مثلث باسكال هذا التماثل؟
