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Diskrete Zufallsgrößen – Erwartungswert als langfristiger Mittelwert

MathematikWahrscheinlichkeitAlter 17–18

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Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgröße in einer Alltagssituation auf (ein Würfelspiel mit Gewinn, die Anzahl richtig geratener Antworten in einem Multiple-Choice-Test, die Anzahl defekter Teile in einer Lieferung), berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung und simulieren Sie Tausende Durchgänge, um zu sehen, wie der Mittelwert gegen den Erwartungswert strebt – und so zu entscheiden, ob das Spiel fair für den Spieler ist.

Lektion: Diskrete Zufallsgrößen und ihre Kenngrößen

Was sie zeigt

Eine diskrete Zufallsgröße X nimmt Werte xᵢ mit Wahrscheinlichkeiten pᵢ an, deren Summe 1 ist. Ihr Erwartungswert E(X) = Σxᵢpᵢ ist der langfristige Mittelwert, die Varianz V(X) misst die Streuung und σ = √V ist die Standardabweichung. Die Situationen Multiple-Choice-Test und defekte Teile folgen der Binomialverteilung B(n, p) mit E = np und V = np(1 − p). Beim Würfelspiel kostet jedes Spiel 10 und E(X) = (Gewinn − 50)/6; fair ist es also nur bei einem Gewinn von 50 für eine 6. Simulierte Versuche zeigen, wie sich der empirische Mittelwert E(X) nähert: das Gesetz der großen Zahlen.

So funktioniert es

Wählen Sie eine Situation, stellen Sie n und p (beim Würfelspiel auch den Gewinn) ein und lesen Sie die Verteilungstabelle mit E(X), V(X) und σ ab. Lassen Sie die Lernenden anhand des Erwartungswerts entscheiden, ob sich das Spiel lohnt, bevor simuliert wird. Drücken Sie dann einige Male +1 Versuch, danach +100 und +1000, und beobachten Sie, wie die rote Mittelwertlinie zuerst schwankt und sich dann nahe E(X) einpendelt. Mit Löschen wiederholen Sie die Serie und sehen einen anderen Verlauf.

Einstellbare Parameter

  • Situation Würfelspiel mit Gewinn, Raten im Multiple-Choice-Test, Defekte Teile in einer Lieferung
  • Anzahl Spiele / Fragen / Stichprobengröße 1–40
  • Trefferwahrscheinlichkeit / Ausschussquote 0,01–0,99
  • Gewinn bei einer 6 (Spiel) 0–100
  • Währung Nach der Sprache, US-Dollar, Euro, Indische Rupie, Indonesische Rupiah, Saudi-Riyal

Fragen zum Erkunden

  1. Wie viele richtige Antworten erwartet man im Mittel, wenn man bei 10 Fragen mit je 4 Optionen rät?
  2. Welcher kleinste Gewinn für eine 6 macht das Würfelspiel für den Spieler günstig?
  3. Was sagt eine große Varianz über das Risiko eines einzelnen Spiels oder einer Lieferung aus?

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