تركيب المتغيرات العشوائية – المجموع والفرق وaX + b والمقدّرات غير المتحيزة
الرياضياتالاحتمالات17–18 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيلكرّر السحب العشوائي آلاف المرات من توزيعين مستقلين (نرد، أو جدول قيم، أو نموذج طبيعي) لتكوين X + Y وX − Y وaX + b وaX + bY ومجموع k نسخ أو وسطها، ثم قارن المدرج التكراري بالتوزيع الدقيق وبالقواعد E(aX + b) = aE(X) + b وVar(aX + b) = a²Var(X) وE(X ± Y) = E(X) ± E(Y) وVar(X ± Y) = Var(X) + Var(Y). وتتضمن المحاكاة سياقات واقعية (الكتلة الكلية لطرد، والفرق بين زمني عدّاءين، والتحويل من °C إلى °F، والمصعد)، وشاشة للمقدّرات تقارن التباين بالقسمة على n وعلى n − 1 ومدى العينة.
الدرس: الوسط والتباين للمجموع والفرق والتحويلات الخطية؛ المقدّرات غير المتحيزة
ماذا تعرض
لأي ثابتين a وb: E(aX + b) = aE(X) + b وVar(aX + b) = a²Var(X)؛ فإضافة b تُزيح التوزيع دون أن تغيّر تشتته. والقيم المتوقعة تُجمع دائمًا، E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)، أما التباينات فلا تُجمع إلا للمتغيرات المستقلة، وتُجمع أيضًا في حالة الفرق: Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y). ومجموع k نسخ مستقلة تباينه kVar(X) لا k²Var(X)، ومجموع متغيرات طبيعية مستقلة متغير طبيعي. وتبيّن شاشة المقدّرات أن القسمة على n − 1 تعطي تقديرًا غير متحيز لـ σ²، بينما القسمة على n ومدى العينة متحيزان إلى الأسفل.
طريقة الاستخدام
اختر من «السياق» موقفًا أو «مخصص»، واختر العملية بعد Z =، ثم اضغط «سحبة واحدة» أو +100 أو +1000 أو «تشغيل» لينمو المدرج التكراري لـ Z. قارن الوسط والتباين المحاكيين في الجدول بالقيم النظرية وبالقواعد. اسحب الخط الأحمر لضبط c في P(Z ≥ c)، وألغِ تحديد «سحبات مستقلة» لتكسر قاعدة التباين، وفعّل المنحنى الطبيعي. وفي «المقدّرات غير المتحيزة» اختر «المجتمع» و«المقدّر» و«حجم العينة n».
المعاملات القابلة للتغيير
- الشاشة تركيب المتغيرات العشوائية, المقدّرات: التحيز والتغيّر
- السياق X وY والعملية حسب اختيارك, حجرا نرد, كتلة طرد, عدّاءان, من °C إلى °F, مصعد يحمل k شخصًا
- العملية التي تكوّن Z (السياق المخصص) aX + b, X + Y, X − Y, aX + bY, X₁ + … + Xₖ (k نسخ مستقلة), الوسط X̄ لـ k نسخ
- المعامل a (السياق المخصص) -10–10
- المعامل b (السياق المخصص) -100–100
- عدد النسخ k (السياق المخصص) 2–30
- توزيع X (السياق المخصص) نرد متوازن (1–6), جدول قيم, طبيعي N(μ, σ²)
- قيم X (جدول، مفصولة بمسافات)
- احتمالات X (جدول، مفصولة بمسافات)
- الوسط μ لـ X (طبيعي) -1000–1000
- الانحراف المعياري σ لـ X (طبيعي) 0.01–1000
- توزيع Y (السياق المخصص) نرد متوازن (1–6), جدول قيم, طبيعي N(μ, σ²)
- قيم Y (جدول، مفصولة بمسافات)
- احتمالات Y (جدول، مفصولة بمسافات)
- الوسط μ لـ Y (طبيعي) -1000–1000
- الانحراف المعياري σ لـ Y (طبيعي) 0.01–1000
- سحبات مستقلة
- إظهار منحنى طبيعي بالوسط والانحراف المعياري نفسيهما
- الحد c للحدث (السياق المخصص) -100000–100000
- الحدث المطلوب احتماله (السياق المخصص) Z ≥ c, Z ≤ c
- المجتمع (شاشة المقدّرات) نرد متوازن (1–6), منتظم على [0, 10], طبيعي N(50, 10²)
- حجم العينة n (شاشة المقدّرات) 2–50
- المقدّرات المقارنة (شاشة المقدّرات) التباين: القسمة على n أو n − 1, الانحراف المعياري, مدى العينة, وسط العينة أو وسيطها
- البذرة العشوائية (العدد نفسه يعطي النتائج نفسها) 1–999
أسئلة للاستكشاف
- لماذا يساوي تباين X − Y القيمة Var(X) + Var(Y) وليس Var(X) − Var(Y)؟
- هل للكتلة الكلية لـ 8 بالغين ولثمانية أضعاف كتلة بالغ واحد الانحراف المعياري نفسه؟
- لماذا تعطي القسمة على n − 1 تقديرًا غير متحيز لتباين المجتمع؟
