Variables aléatoires discrètes – l'espérance, moyenne à long terme

Ce qu’elle montre

Une variable aléatoire discrète X prend des valeurs xᵢ avec des probabilités pᵢ de somme 1. Son espérance E(X) = Σxᵢpᵢ est la moyenne à long terme, la variance V(X) mesure la dispersion et σ = √V est l'écart type. Les situations du QCM et des pièces défectueuses suivent la loi binomiale B(n, p), avec E = np et V = np(1 − p). Au jeu de dé, chaque partie coûte 10 et E(X) = (gain − 50)/6 : le jeu n'est équitable que si le gain pour un 6 vaut 50. Les essais simulés montrent la moyenne observée se rapprocher de E(X) : c'est la loi des grands nombres.

Mode d’emploi

Choisissez une Situation, réglez n et p (et le gain au jeu de dé), puis lisez le tableau de la loi avec E(X), V(X) et σ. Demandez aux élèves de décider, d'après l'espérance, s'il vaut la peine de jouer avant toute simulation. Appuyez ensuite plusieurs fois sur +1 essai, puis sur +100 et +1000, et observez la ligne rouge de la moyenne osciller au début puis se stabiliser près de E(X). Appuyez sur Effacer pour relancer la série et voir un autre parcours.

Paramètres modifiables

• Situation Jeu de dé avec un gain, Réponses au hasard à un QCM, Pièces défectueuses dans un lot
• Nombre de parties / questions / taille du lot 1–40
• Probabilité de succès / taux de défaut 0,01–0,99
• Gain pour un 6 (jeu) 0–100
• Monnaie Selon la langue, Dollar américain, Euro, Roupie indienne, Roupie indonésienne, Riyal saoudien

Questions à explorer

1. En répondant au hasard à 10 questions à 4 choix, combien de bonnes réponses peut-on espérer en moyenne ?
2. Quel est le plus petit gain pour un 6 qui rend le jeu de dé favorable au joueur ?
3. Qu'indique une grande variance sur le risque d'une seule partie ou d'un seul lot ?