قاعدتا الجمع والضرب في الاحتمالات – مخطط فن والشجرة البيانية

ماذا تعرض

تُرسم الحادثتان A و B منطقتين داخل فضاء عينة مساحته 1، فتساوي كل مساحة احتمالًا. يغيّر تحريك B منطقة التداخل P(AB)، ويُحسب الاتحاد بقاعدة الجمع P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). إذا لم يكن هناك تداخل فالحادثتان متنافيتان، وإذا كان P(AB) = P(A)·P(B) فهما مستقلتان وتتحقق قاعدة الضرب. وتعرض شجرة بيانية من مرحلتين الموقف نفسه بالاحتمالين الشرطيين P(B|A) و P(B|Ā). أما النقاط العشوائية المرمية على المخطط فتعطي تكرارات نسبية تقترب من القيم النظرية.

طريقة الاستخدام

اضبط P(A) و P(B)، ثم اسحب B أفقيًا لتغيّر P(AB)، واقرأ قاعدة الجمع عند كل موضع، بما في ذلك عندما تنفصل المنطقتان. اضغط «اجعلهما مستقلتين» وقارن بين P(B|A) و P(B) في «الشجرة البيانية». استعمل «رمي عشوائي» عدة مرات، مع زيادة «عدد الرميات العشوائية في كل ضغطة»، لترى التكرارات تستقر قرب القيم النظرية. اطلب من الطلاب أن يحددوا في كل ترتيب هل الحادثتان متنافيتان أم مستقلتان أم لا هذا ولا ذاك.

المعاملات القابلة للتغيير

• P(A) 0.05–0.95
• P(B) 0.05–0.95
• P(AB) = P(A ∩ B) (تُضبط تلقائيًا ضمن المدى المسموح) 0–0.95
• إظهار الشجرة البيانية ذات المرحلتين
• عدد الرميات العشوائية في كل ضغطة 100–3000

أسئلة للاستكشاف

1. هل يمكن لحادثتين متنافيتين احتمالاهما موجبان أن تكونا مستقلتين؟ وماذا يبيّن المخطط؟
2. متى يساوي P(A ∪ B) تمامًا P(A) + P(B)؟
3. إذا كان P(B|A) = P(B)، فماذا تخبرك الشجرة البيانية عن الحادثتين A و B؟