قانون جيوب التمام وقانون الجيوب – ومساحة المثلث
الرياضياتالهندسة المستوية15–16 سنة
جارٍ التحميل…
سجّل الدخول للتشغيليُبنى المثلث ABC من ضلعين a وb والزاوية المحصورة بينهما C، ويمكنك سحب أي رأس من رؤوسه الثلاثة بحرية. تتحدّث كل الأضلاع والزوايا مباشرة بينما تتحقق من أن: c² = a² + b² − 2ab·cosC، وa/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R، والمساحة S = ½ab·sinC = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = abc/4R = pr. ويمكنك أيضًا إظهار الدائرة المحيطة (نصف قطرها R) والارتفاع.
الدرس: قانون جيوب التمام وقانون الجيوب وصيغ مساحة المثلث
ماذا تعرض
في أي مثلث ABC يربط قانون جيوب التمام c² = a² + b² − 2ab·cosC بين الأضلاع الثلاثة وإحدى الزوايا. ويتحول إلى مبرهنة فيثاغورس عندما C = 90°، أما في الزاوية المنفرجة فيكون cosC < 0، ومن ثم c² > a² + b². وينص قانون الجيوب على أن ناتج قسمة كل ضلع على جيب الزاوية المقابلة له يساوي 2R، أي قطر الدائرة المحيطة، لذا يقابل أطول ضلع أكبر زاوية. ويمكن حساب المساحة بعدة طرق متكافئة: ½ab·sinC وصيغة هيرون وabc/4R وpr، حيث r نصف قطر الدائرة الداخلية وp نصف المحيط.
طريقة الاستخدام
اضبط «الضلع a = BC» و«الضلع b = CA» و«الزاوية C»، أو اسحب الرؤوس A وB وC مباشرة، وتحقق من تطابق c² والنسب الثلاث وصيغ المساحة الأربع. حرّك «الزاوية C» مرورًا بـ 90° لترى قانون جيوب التمام يتحول إلى مبرهنة فيثاغورس. فعّل «إظهار الدائرة المحيطة (R)» لتربط النسبة a/sinA بنصف القطر، و«إظهار الارتفاع AH» لتربط ½ab·sinC بـ ½ × القاعدة × الارتفاع.
المعاملات القابلة للتغيير
- الضلع a = BC 1–12 cm
- الضلع b = CA 1–12 cm
- الزاوية C 10–170 °
- إظهار الدائرة المحيطة (R)
- إظهار الارتفاع AH
أسئلة للاستكشاف
- عند أي زاوية C يكون c² = a² + b²، وما نوع المثلث عندئذ؟
- إذا ثبّتنا a وb، فأي زاوية C تعطي أكبر مساحة، ولماذا؟
- لماذا يقابل أطول ضلع في المثلث دائمًا أكبر زواياه؟
