Théorème d'Al-Kashi, loi des sinus et aire d'un triangle

Ce qu’elle montre

Dans tout triangle ABC, la loi des cosinus (théorème d'Al-Kashi) c² = a² + b² − 2ab·cosC relie trois côtés et un angle. Elle redonne le théorème de Pythagore quand C = 90°, et pour un angle obtus cosC < 0, donc c² > a² + b². La loi des sinus affirme que chaque côté divisé par le sinus de l'angle opposé vaut 2R, le diamètre du cercle circonscrit : le plus grand côté fait donc face au plus grand angle. L'aire s'obtient de plusieurs façons équivalentes, ½ab·sinC, la formule de Héron, abc/4R et pr, où r est le rayon du cercle inscrit et p le demi-périmètre.

Mode d’emploi

Réglez Côté a = BC, Côté b = CA et Angle C, ou faites glisser directement les sommets A, B, C, et vérifiez que c², les trois rapports et les quatre formules d'aire concordent. Faites passer Angle C par 90° pour voir la loi des cosinus devenir le théorème de Pythagore. Activez Afficher le cercle circonscrit (R) pour relier le rapport a/sinA au rayon, et Afficher la hauteur AH pour relier ½ab·sinC à ½ × base × hauteur.

Paramètres modifiables

• Côté a = BC 1–12 cm
• Côté b = CA 1–12 cm
• Angle C 10–170 °
• Afficher le cercle circonscrit (R)
• Afficher la hauteur AH

Questions à explorer

1. Pour quel angle C a-t-on c² = a² + b², et quel type de triangle obtient-on alors ?
2. Avec a et b fixés, quel angle C donne l'aire maximale, et pourquoi ?
3. Pourquoi le plus grand côté d'un triangle est-il toujours opposé au plus grand angle ?