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Kosinussatz, Sinussatz und Flächeninhalt des Dreiecks

MathematikEbene GeometrieAlter 15–16

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Das Dreieck ABC entsteht aus zwei Seiten a, b und dem eingeschlossenen Winkel C; jede der drei Ecken lässt sich frei ziehen. Alle Seiten und Winkel werden laufend aktualisiert, während Sie überprüfen: c² = a² + b² − 2ab·cosC, a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R und Flächeninhalt S = ½ab·sinC = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = abc/4R = pr. Umkreis (Radius R) und Höhe lassen sich einblenden.

Lektion: Kosinussatz, Sinussatz und Flächenformeln für Dreiecke

Was sie zeigt

In jedem Dreieck ABC verknüpft der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab·cosC drei Seiten und einen Winkel. Für C = 90° wird er zum Satz des Pythagoras, und bei einem stumpfen Winkel ist cosC < 0, also c² > a² + b². Der Sinussatz besagt, dass jede Seite geteilt durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels gleich 2R ist, dem Durchmesser des Umkreises; deshalb liegt die längste Seite dem größten Winkel gegenüber. Der Flächeninhalt lässt sich auf mehrere gleichwertige Arten berechnen: ½ab·sinC, Heronsche Formel, abc/4R und pr, wobei r der Inkreisradius und p der halbe Umfang ist.

So funktioniert es

Stellen Sie Seite a = BC, Seite b = CA und Winkel C ein oder ziehen Sie die Ecken A, B, C direkt, und prüfen Sie, dass c², die drei Verhältnisse und die vier Flächenformeln übereinstimmen. Führen Sie Winkel C über 90°, um zu sehen, wie der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras wird. Mit Umkreis zeigen (R) verbinden Sie das Verhältnis a/sinA mit dem Radius, mit Höhe AH zeigen die Formel ½ab·sinC mit ½ × Grundseite × Höhe.

Einstellbare Parameter

  • Seite a = BC 1–12 cm
  • Seite b = CA 1–12 cm
  • Winkel C 10–170 °
  • Umkreis zeigen (R)
  • Höhe AH zeigen

Fragen zum Erkunden

  1. Für welchen Winkel C gilt c² = a² + b², und welche Art von Dreieck entsteht dann?
  2. Welcher Winkel C liefert bei festen a und b den größten Flächeninhalt, und warum?
  3. Warum liegt die längste Seite eines Dreiecks immer dem größten Winkel gegenüber?

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