Teorema del coseno, teorema del seno y área del triángulo

Qué muestra

En cualquier triángulo ABC, el teorema del coseno c² = a² + b² − 2ab·cosC relaciona tres lados y un ángulo. Se reduce al teorema de Pitágoras cuando C = 90°, y si el ángulo es obtuso, cosC < 0, así que c² > a² + b². El teorema del seno dice que cada lado dividido entre el seno del ángulo opuesto vale 2R, el diámetro de la circunferencia circunscrita, de modo que el lado mayor está frente al ángulo mayor. El área se obtiene de varias formas equivalentes, ½ab·sinC, la fórmula de Herón, abc/4R y pr, donde r es el radio de la circunferencia inscrita y p el semiperímetro.

Cómo usarla

Fija Lado a = BC, Lado b = CA y Ángulo C, o arrastra directamente los vértices A, B, C, y comprueba que c², las tres razones y las cuatro fórmulas del área coinciden. Lleva Ángulo C hasta 90° para ver cómo el teorema del coseno se convierte en el de Pitágoras. Activa Mostrar circunferencia circunscrita (R) para relacionar la razón a/sinA con el radio, y Mostrar altura AH para enlazar ½ab·sinC con ½ × base × altura.

Parámetros que puedes cambiar

• Lado a = BC 1–12 cm
• Lado b = CA 1–12 cm
• Ángulo C 10–170 °
• Mostrar circunferencia circunscrita (R)
• Mostrar altura AH

Preguntas para explorar

1. ¿Para qué ángulo C se cumple c² = a² + b² y qué tipo de triángulo se obtiene?
2. Con a y b fijos, ¿qué ángulo C da el área máxima y por qué?
3. ¿Por qué el lado mayor de un triángulo siempre está frente al ángulo mayor?