نظرية فيثاغورس – المربعات على الأضلاع، والبراهين، والتطبيقات

ماذا تعرض

في المثلث القائم الزاوية، مساحة المربع المنشأ على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين: c² = a² + b². والعكس صحيح أيضًا: إذا كان a² + b² = c² فإن الزاوية المقابلة للضلع c قياسها 90°. وإذا كان a² + b² أكبر من c² فتلك الزاوية حادة، وإذا كان أصغر فهي منفرجة. يمكن برهان النظرية بإعادة ترتيب أربع نسخ من المثلث داخل مربع، أو بالمثلثات المتشابهة التي يكوّنها الارتفاع على الوتر. وهي تعطي المسافة بين نقطتين وقطر متوازي المستطيلات d = √(l² + w² + h²).

طريقة الاستخدام

في شاشة «استكشاف»، اسحب A و B و C أو اضغط إعدادًا جاهزًا مثل 3–4–5 أو «الزاوية C حادة» أو «الزاوية C منفرجة»؛ وأبقِ «الالتصاق بالشبكة» مفعّلًا لتكون المساحات أعدادًا صحيحة دقيقة. في «البراهين»، اختر «البرهان» واضغط «تشغيل» أو اسحب «التقدم». في «إيجاد ضلع»، اختر الضلع من «أوجد»، وحرّك المنزلقات واضغط «سؤال جديد» للتدريب. في «المسافة»، اسحب P و Q. في «متوازي المستطيلات»، اضبط l و w و h واسحب الصورة لتدويرها.

المعاملات القابلة للتغيير

• الشاشة استكشاف, البراهين, إيجاد ضلع, المسافة, متوازي المستطيلات
• التصاق الرؤوس بنقاط الشبكة (استكشاف)
• البرهان إعادة الترتيب, المثلثات المتشابهة
• الضلع a (البراهين، إيجاد ضلع) 1–15 cm
• الضلع b (البراهين، إيجاد ضلع) 1–15 cm
• الضلع المطلوب (إيجاد ضلع) الوتر, ضلع القائمة
• الطول l (متوازي المستطيلات) 1–12 cm
• العرض w (متوازي المستطيلات) 1–12 cm
• الارتفاع h (متوازي المستطيلات) 1–12 cm

أسئلة للاستكشاف

1. لماذا يملأ المربعان الأصغران المربع الأكبر تمامًا فقط عندما تكون الزاوية C قائمة؟
2. كيف تستخدم a² + b² و c² لتعرف إن كان المثلث حاد الزوايا أم قائم الزاوية أم منفرج الزاوية؟
3. لماذا تحتاج إلى نظرية فيثاغورس مرتين لإيجاد القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات؟