Lei dos cossenos, lei dos senos e área do triângulo
MatemáticaGeometria planaIdades 15–16
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O triângulo ABC é construído a partir de dois lados a, b e do ângulo C entre eles; arraste livremente qualquer um dos três vértices. Todos os lados e ângulos se atualizam em tempo real enquanto você verifica: c² = a² + b² − 2ab·cosC, a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R e a área S = ½ab·sinC = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = abc/4R = pr. Também é possível mostrar a circunferência circunscrita (raio R) e a altura.
Aula: Lei dos cossenos, lei dos senos e fórmulas da área do triângulo
O que mostra
Em qualquer triângulo ABC, a lei dos cossenos c² = a² + b² − 2ab·cosC relaciona três lados e um ângulo. Ela se reduz ao teorema de Pitágoras quando C = 90°, e para um ângulo obtuso cosC < 0, então c² > a² + b². A lei dos senos diz que cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto vale 2R, o diâmetro da circunferência circunscrita; por isso o maior lado fica oposto ao maior ângulo. A área pode ser obtida de várias formas equivalentes, ½ab·sinC, a fórmula de Herão, abc/4R e pr, em que r é o raio da circunferência inscrita e p o semiperímetro.
Como usar
Defina Lado a = BC, Lado b = CA e Ângulo C, ou arraste diretamente os vértices A, B, C, e verifique que c², as três razões e as quatro fórmulas da área coincidem. Leve Ângulo C até 90° para ver a lei dos cossenos virar o teorema de Pitágoras. Ligue Mostrar circunferência circunscrita (R) para relacionar a razão a/sinA com o raio, e Mostrar altura AH para ligar ½ab·sinC a ½ × base × altura.
Parâmetros que você pode mudar
- Lado a = BC 1–12 cm
- Lado b = CA 1–12 cm
- Ângulo C 10–170 °
- Mostrar circunferência circunscrita (R)
- Mostrar altura AH
Perguntas para explorar
- Para qual ângulo C vale c² = a² + b², e que tipo de triângulo se obtém?
- Com a e b fixos, qual ângulo C dá a maior área, e por quê?
- Por que o maior lado de um triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo?
