القطع المكافئ – المماس عند نقطة متحركة

ماذا تعرض

المشتقة عند x₀ هي ميل المماس للمنحنى عند النقطة التي إحداثيها السيني x₀. وبالنسبة للقطع المكافئ y = ax² + bx + c تكون المشتقة y′ = 2ax + b دالة خطية، لذا يتغير الميل بمعدل ثابت عند تحرك النقطة. معادلة المماس عند M(x₀; y₀) هي y = y′(x₀)(x − x₀) + y₀. ويكون المماس أفقيًا عند الرأس فقط، حيث 2ax₀ + b = 0، ويبقى في جهة واحدة من القطع المكافئ ولا يلامسه إلا عند M: وهذه صورة للتماس أدق من مجرد أن يلاقي المستقيم المنحنى مرة واحدة.

طريقة الاستخدام

اضبط «المعامل a» و«المعامل b» و«المعامل c» لاختيار القطع المكافئ، و«الإحداثي السيني الابتدائي للنقطة M» لتحديد موضع النقطة. ثم اسحب M على المنحنى وتابع الميل k ومعادلة المماس المعروضين أسفل الرسم. ابحث أين يكون المماس أفقيًا، وأين يكون الميل سالبًا، وكيف يتغير k عندما تتحرك M من اليسار إلى اليمين.

المعاملات القابلة للتغيير

• المعامل a -5–5
• المعامل b -10–10
• المعامل c -10–10
• الإحداثي السيني الابتدائي للنقطة M -8–8

أسئلة للاستكشاف

1. عند أي نقطة من القطع المكافئ يوازي المماس محور السينات، وما علاقة هذه النقطة بالرأس؟
2. ما معادلة المماس للمنحنى y = x² − 2x − 3 عند x₀ = 2؟
3. كيف يتغير الميل k عندما تتحرك M من اليسار إلى اليمين، وما الذي يتغير إذا كان a سالبًا؟