Curvas paramétricas – velocidad, dy/dx y longitud de arco

Qué muestra

Una curva paramétrica da las dos coordenadas como funciones de un parámetro t, de modo que x = x(t) e y = y(t) describen un camino recorrido en un sentido definido. Si t es el tiempo, la curva se convierte en un movimiento: el vector velocidad es (x′, y′), la rapidez es √(x′² + y′²) y la aceleración es (x″, y″). La pendiente es dy/dx = y′/x′, no definida donde x′ = 0, y al eliminar t se obtiene la ecuación cartesiana. La longitud de arco es la integral de la rapidez. Las derivadas salen de diferencias centrales y la integral, de la regla de Simpson.

Cómo usarla

Elige una Curva y arrastra el punto rojo P o el control Parámetro t, o pulsa Reproducir. Cambia a y b para modificar la curva. Usa Velocidad y aceleración, Recta tangente y Poligonal para mostrar cada elemento, y aumenta Segmentos de la poligonal n para ver cómo Lₙ se acerca a L en la tabla. Para probar otra curva, escribe x(t), y(t) y el intervalo de t: cualquier cambio pasa a Tus propias x(t), y(t).

Parámetros que puedes cambiar

• Curva Recta, Circunferencia, Elipse, Proyectil (g = 9,81 m/s²), Curva de Lissajous, Cicloide, Tus propias x(t), y(t)
• Fórmula de x(t) (curva propia)
• Fórmula de y(t) (curva propia)
• Valor inicial t₀ (curva propia)
• Valor final t₁ (curva propia)
• Posición inicial de t (porcentaje del intervalo) 0–100 %
• Segmentos de la poligonal n 1–64
• Mostrar los vectores velocidad y aceleración
• Mostrar la recta tangente
• Mostrar la poligonal

Preguntas para explorar

1. En la circunferencia, ¿por qué la aceleración es siempre perpendicular a la velocidad?
2. ¿En qué puntos de la elipse la tangente es vertical y qué le ocurre allí a dy/dx?
3. ¿Cuántos segmentos hacen que Lₙ sea menos de un 1 % más corta que el arco de la cicloide?