Courbes paramétrées – vitesse, dy/dx et longueur d'arc

Ce qu’elle montre

Une courbe paramétrée donne les deux coordonnées en fonction d'un paramètre t : x = x(t) et y = y(t) décrivent un chemin parcouru dans un sens déterminé. Si t est le temps, la courbe devient un mouvement : le vecteur vitesse est (x′, y′), sa norme √(x′² + y′²) et l'accélération (x″, y″). La pente est dy/dx = y′/x′, non définie là où x′ = 0, et l'élimination de t donne l'équation cartésienne. La longueur d'arc est l'intégrale de la norme de la vitesse. Les dérivées viennent de différences centrées et l'intégrale de la méthode de Simpson.

Mode d’emploi

Choisissez une Courbe, puis faites glisser le point rouge P ou le curseur Paramètre t, ou cliquez sur Lecture. Modifiez a et b pour changer la courbe. Utilisez Vitesse et accélération, Tangente et Ligne brisée pour afficher chaque élément, et augmentez Segments de ligne brisée n pour voir Lₙ se rapprocher de L dans le tableau. Pour une autre courbe, saisissez x(t), y(t) et l'intervalle de t : toute modification passe à Vos propres x(t), y(t).

Paramètres modifiables

• Courbe Droite, Cercle, Ellipse, Projectile (g = 9,81 m/s²), Courbe de Lissajous, Cycloïde, Vos propres x(t), y(t)
• Formule de x(t) (courbe personnelle)
• Formule de y(t) (courbe personnelle)
• Valeur initiale t₀ (courbe personnelle)
• Valeur finale t₁ (courbe personnelle)
• Position initiale de t (pourcentage de l'intervalle) 0–100 %
• Segments de la ligne brisée n 1–64
• Afficher les vecteurs vitesse et accélération
• Afficher la tangente
• Afficher la ligne brisée

Questions à explorer

1. Sur le cercle, pourquoi l'accélération est-elle toujours perpendiculaire à la vitesse ?
2. En quels points de l'ellipse la tangente est-elle verticale, et que devient dy/dx en ces points ?
3. Combien de segments faut-il pour que Lₙ soit moins de 1 % plus courte que l'arc de la cycloïde ?