Parameterkurven – Geschwindigkeit, dy/dx und Bogenlänge

Was sie zeigt

Eine Parameterkurve gibt beide Koordinaten als Funktionen eines Parameters t an: x = x(t) und y = y(t) beschreiben eine Bahn, die in einer bestimmten Richtung durchlaufen wird. Fasst man t als Zeit auf, wird die Kurve zur Bewegung: Der Geschwindigkeitsvektor ist (x′, y′), sein Betrag √(x′² + y′²), die Beschleunigung (x″, y″). Die Steigung ist dy/dx = y′/x′, nicht definiert, wo x′ = 0 ist, und das Eliminieren von t liefert die Koordinatengleichung. Die Bogenlänge ist das Integral des Geschwindigkeitsbetrags. Ableitungen kommen aus zentralen Differenzen, das Integral aus der Simpsonregel.

So funktioniert es

Wählen Sie eine Kurve und ziehen Sie den roten Punkt P oder den Regler Parameter t, oder klicken Sie auf Start. Ändern Sie a und b, um die Kurve zu verformen. Blenden Sie mit Geschwindigkeit und Beschleunigung, Tangente und Streckenzug die Elemente ein, und erhöhen Sie Streckenzug-Abschnitte n, um in der Tabelle zu sehen, wie Lₙ sich L nähert. Für eine andere Kurve geben Sie x(t), y(t) und den t-Bereich ein: Jede Änderung wechselt zu Eigene x(t), y(t).

Einstellbare Parameter

• Kurve Gerade, Kreis, Ellipse, Schiefer Wurf (g = 9,81 m/s²), Lissajous-Figur, Zykloide, Eigene x(t), y(t)
• Formel für x(t) (eigene Kurve)
• Formel für y(t) (eigene Kurve)
• Startwert t₀ (eigene Kurve)
• Endwert t₁ (eigene Kurve)
• Startposition von t (Prozent des t-Bereichs) 0–100 %
• Abschnitte des Streckenzugs n 1–64
• Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor anzeigen
• Tangente anzeigen
• Streckenzug anzeigen

Fragen zum Erkunden

1. Warum steht die Beschleunigung beim Kreis immer senkrecht auf der Geschwindigkeit?
2. An welchen Stellen der Ellipse ist die Tangente senkrecht, und was passiert dort mit dy/dx?
3. Wie viele Abschnitte braucht der Streckenzug, damit Lₙ weniger als 1 % kürzer ist als der Zykloidenbogen?