Curvas paramétricas – velocidade, dy/dx e comprimento de arco

O que mostra

Uma curva paramétrica dá as duas coordenadas como funções de um parâmetro t, de modo que x = x(t) e y = y(t) descrevem um caminho percorrido em um sentido definido. Se t é o tempo, a curva vira um movimento: o vetor velocidade é (x′, y′), a rapidez é √(x′² + y′²) e a aceleração é (x″, y″). A inclinação é dy/dx = y′/x′, indefinida onde x′ = 0, e eliminar t dá a equação cartesiana. O comprimento de arco é a integral da rapidez. As derivadas vêm de diferenças centrais e a integral, da regra de Simpson.

Como usar

Escolha uma Curva e arraste o ponto vermelho P ou o controle Parâmetro t, ou clique em Iniciar. Mude a e b para alterar a curva. Use Velocidade e aceleração, Reta tangente e Poligonal para mostrar cada elemento, e aumente Segmentos da poligonal n para ver Lₙ se aproximar de L na tabela. Para testar outra curva, digite x(t), y(t) e o intervalo de t: qualquer edição muda para Suas próprias x(t), y(t).

Parâmetros que você pode mudar

• Curva Reta, Circunferência, Elipse, Projétil (g = 9,81 m/s²), Curva de Lissajous, Cicloide, Suas próprias x(t), y(t)
• Fórmula de x(t) (curva própria)
• Fórmula de y(t) (curva própria)
• Valor inicial t₀ (curva própria)
• Valor final t₁ (curva própria)
• Posição inicial de t (porcentagem do intervalo) 0–100 %
• Segmentos da poligonal n 1–64
• Mostrar os vetores velocidade e aceleração
• Mostrar a reta tangente
• Mostrar a poligonal

Perguntas para explorar

1. Na circunferência, por que a aceleração é sempre perpendicular à velocidade?
2. Em que pontos da elipse a tangente é vertical, e o que acontece com dy/dx ali?
3. Quantos segmentos fazem Lₙ ficar menos de 1 % abaixo do comprimento do arco da cicloide?