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Permutations, arrangements et combinaisons – choisir k objets parmi n

MathématiquesProbabilités15–16 ans

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n objets notés A, B, C… sont alignés ; les élèves en touchent k pour les choisir, avec ou sans ordre, et comparent avec la liste complète de tous les choix possibles. Le dénombrement suit Pₙ = n!, Aₙᵏ = n!/(n − k)! et Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!), chacun avec son produit développé ; le triangle de Pascal en dessous met en évidence la case Cₙᵏ et montre que Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.

Leçon : Permutations, arrangements et combinaisons ; triangle de Pascal (formule du binôme)

Ce qu’elle montre

Les problèmes de dénombrement reposent sur une question : l'ordre compte-t-il ? Avec n objets étiquetés, une permutation les range tous (Pₙ = n!), un arrangement en choisit k dans un ordre donné (Aₙᵏ = n!/(n − k)!) et une combinaison en choisit k sans tenir compte de l'ordre (Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!)). La liste complète des cas rend le lien visible : chaque combinaison de k objets peut être ordonnée de k! façons, donc Aₙᵏ = k!·Cₙᵏ. Le triangle de Pascal contient les mêmes nombres ; chaque case est la somme des deux cases au-dessus.

Mode d’emploi

Réglez Nombre d'objets n et Nombre choisi k, puis choisissez le type de dénombrement avec les boutons Permutations Pₙ, Arrangements Aₙᵏ ou Combinaisons Cₙᵏ. Les élèves touchent les objets un par un et voient diminuer les choix restants (principe multiplicatif), puis retrouvent leur choix dans la liste complète. À n et k fixés, passez des arrangements aux combinaisons pour comparer la longueur des listes. Effacer le choix recommence ; Afficher le triangle de Pascal repère la case Cₙᵏ.

Paramètres modifiables

  • Nombre d'objets n 1–7
  • Nombre choisi k 1–7
  • Type de dénombrement Permutation (ranger les n objets), Arrangement (k objets, avec ordre), Combinaison (k objets, sans ordre)
  • Afficher le triangle de Pascal

Questions à explorer

  1. Choisir un capitaine, un vice-capitaine et un trésorier parmi 7 élèves : est-ce un arrangement ou une combinaison, et combien de façons ?
  2. Pour n = 5 et k = 3, combien d'arrangements correspondent à chaque combinaison, et pourquoi ?
  3. Pourquoi Cₙᵏ est-il égal à Cₙⁿ⁻ᵏ, et où le triangle de Pascal montre-t-il cette symétrie ?

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