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Permutações, arranjos e combinações – escolher k de n elementos

MatemáticaProbabilidadeIdades 15–16

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Usar com minha turma

n elementos identificados por A, B, C… ficam em fila; os alunos tocam para escolher k deles, com ou sem ordem, e comparam com a lista completa de todas as escolhas possíveis. A contagem segue Pₙ = n!, Aₙᵏ = n!/(n − k)! e Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!), cada uma com o produto desenvolvido; o triângulo de Pascal abaixo destaca a célula Cₙᵏ, mostrando que Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.

Aula: Permutações, arranjos e combinações; triângulo de Pascal (binômio de Newton)

O que mostra

Problemas de contagem dependem de uma pergunta: a ordem importa? Com n elementos rotulados, uma permutação ordena todos eles (Pₙ = n!), um arranjo escolhe k deles com ordem (Aₙᵏ = n!/(n − k)!) e uma combinação escolhe k sem levar em conta a ordem (Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!)). Listar todos os resultados torna a relação visível: cada combinação de k elementos pode ser ordenada de k! maneiras, então Aₙᵏ = k!·Cₙᵏ. O triângulo de Pascal guarda os mesmos números; cada entrada é a soma das duas acima dela.

Como usar

Ajuste Número de elementos n e Quantidade escolhida k e escolha o tipo de contagem com os botões Permutações Pₙ, Arranjos Aₙᵏ ou Combinações Cₙᵏ. Os alunos tocam os elementos um a um e veem as opções restantes diminuírem (princípio multiplicativo); depois localizam a escolha na lista completa. Com n e k fixos, alterne entre arranjos e combinações para comparar o tamanho das listas. Limpar seleção recomeça; Mostrar triângulo de Pascal destaca a célula Cₙᵏ.

Parâmetros que você pode mudar

  • Número de elementos n 1–7
  • Quantidade escolhida k 1–7
  • Tipo de contagem Permutação (ordenar os n elementos), Arranjo (escolher k, com ordem), Combinação (escolher k, sem ordem)
  • Mostrar triângulo de Pascal

Perguntas para explorar

  1. Escolher capitão, vice-capitão e tesoureiro entre 7 alunos é um arranjo ou uma combinação, e de quantas maneiras isso pode ser feito?
  2. Para n = 5 e k = 3, quantos arranjos correspondem a cada combinação, e por quê?
  3. Por que Cₙᵏ é igual a Cₙⁿ⁻ᵏ, e onde o triângulo de Pascal mostra essa simetria?

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