Permutaciones, variaciones y combinaciones – elegir k de n elementos

Qué muestra

Los problemas de conteo dependen de una pregunta: ¿importa el orden? Con n elementos etiquetados, una permutación los ordena todos (Pₙ = n!), una variación elige k de ellos con orden (Aₙᵏ = n!/(n − k)!) y una combinación elige k sin tener en cuenta el orden (Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!)). Al listar todos los resultados se ve la relación: cada combinación de k elementos puede ordenarse de k! maneras, así que Aₙᵏ = k!·Cₙᵏ. El triángulo de Pascal contiene los mismos números; cada casilla es la suma de las dos de arriba.

Cómo usarla

Ajusta Número de elementos n y Número elegido k, y elige el tipo de recuento con los botones Permutaciones Pₙ, Variaciones Aₙᵏ o Combinaciones Cₙᵏ. Los estudiantes tocan los elementos uno a uno y ven cómo disminuyen las opciones restantes (principio multiplicativo); luego buscan su elección en la lista completa. Con n y k fijos, alterna entre variaciones y combinaciones para comparar la longitud de las listas. Borrar selección reinicia; Mostrar triángulo de Pascal señala la casilla Cₙᵏ.

Parámetros que puedes cambiar

• Número de elementos n 1–7
• Número elegido k 1–7
• Tipo de recuento Permutación (ordenar los n elementos), Variación (elegir k, con orden), Combinación (elegir k, sin orden)
• Mostrar triángulo de Pascal

Preguntas para explorar

1. ¿Elegir capitán, subcapitán y tesorero entre 7 estudiantes es una variación o una combinación, y cuántas formas hay?
2. Con n = 5 y k = 3, ¿cuántas variaciones corresponden a cada combinación, y por qué?
3. ¿Por qué Cₙᵏ es igual a Cₙⁿ⁻ᵏ, y dónde muestra esta simetría el triángulo de Pascal?